Математическое приложение 2. Модель «принципал – агент»

При имеющемся у принципала капитале результаты хозяйственной деятельности являются стохастической функцией количества затрачиваемого агентом труда:

где а — показатель производительности;

v — стохастическая переменная с нулевым ожиданием.

Денежный эквивалент своих физических и умственный затрат агент оценивает по формуле.

Оплата труда агента состоит из двух частей: фиксированной суммы (гл), не зависящей от количества труда и выпуска, и доли (?) конечного результата хозяйственной деятельности:

Агент согласен трудиться, если

Вариант 1. Агент безразличен к риску и его усердие неконтролируемо. (Собственник сельскохозяйственных угодий нанимает работника, готового их обрабатывать, принимая на себя ответственность за конечный результат.).

Пусть функция полезности агента имеет вид.

(1).

а принципала -.

(2).

Отсюда функция общественного благосостояния.

Она достигает максимума при . Таков оптимальный объем использования труда.

Фактическое предложение труда определяется из условия максимизации функции (1):

(3).

Следовательно, чтобы , требуется , т. е. весь результат хозяйственной деятельности нужно передать агенту.

Цель принципала — максимизировать функцию (2) при ограничении (3) и равенстве M = H:

(4).

Подставим значение (4) в функцию (2) и заменим L его значением в выражении (3).

Функция полезности принципала достигает максимума при.

Таким образом, и в интересах принципала передать весь результат агенту. В этом случае . Подставив это значение в условие (4), найдем.

Отрицательное значение фиксированной части оплаты труда агента означает, что с него надо брать арендную плату. Подставим значения арендной платы, и в функцию полезности агента:

Таким образом, агент «остался при своих», и вся польза сотрудничества досталась принципалу.

Функция полезности принципала.

Вариант 2. Агент склонен избегать риска и его усердие контролируемо. (Наем работника для ручной разгрузки кирпича с машин, прибывающих через час, но некоторые из них по непредвиденным причинам могут вообще не прибыть.).

Отобразим неприязнь агента к риску тем, что предельная полезность дохода от ожидаемого конечного результата для него убывает, поскольку бо? льший доход связан с повышенным риском, т. е.

(5).

Функция полезности принципала остается прежней. Поэтому функция общественной полезности имеет вид.

Теперь общественное благосостояние зависит не только от количества затрачиваемого труда, но и от пропорции распределения экономического результата.

Так как разность в квадратных скобках отрицательна, то общественное благосостояние достигает максимума при , т. е. весь результат должен остаться у принципала.

В этом случае и оптимальный объем использования труда по-прежнему , а найденная из выражения (4) автономная часть оплаты . Поскольку принципал может контролировать количество и качество труда, то система его оплаты такова:

Вариант 3. Агент склонен избегать риска и его усердие неконтролируемо. (Наем инженерно-технического персонала.) Количество предлагаемого агентом труда определяется из условия максимизации его функции полезности (5):

(6).

Теперь равенство M = H, определяющее нижнюю границу оплаты труда агента, имеет вид.

(7).

Заменив в функции полезности принципала (2) L и т на их значения в выражениях (6) и (7), получаем.

Примем а = 9; b = 0,25. В этом случае максимум полезности принципал получает при? = 0,486 (см. рисунок).