Статистические гипотезы и их проверка

Поскольку вес предположения о характере того или иного распределения — это гипотезы, то они должны быть подвергнуты статистической проверке с помощью так называемых критериев согласия. Критерии согласия дают возможность установить, когда расхождения между двумя эмпирическими или теоретическими и эмпирическими частотами следует признать несущественными (случайными), а когда — существенными (неслучайными).

Статистические критерии проверки гипотез разнообразны, но у них единая логическая схема построения, которая представлена на рис. 27.

Рис. 27. Схема построения проверки статистических гипотез.

Существуют два типа критериев согласия — параметрические и непараметрические.

Параметрические критерии согласии

Параметрические критерии позволяют оценить различия по одному из параметров (средних, дисперсий и т. д.) и относительно более трудоемки при вычислениях.

t-критерий Стьюдснта

Наиболее распространенным параметрическим критерием является t-критерий Стьюдента (псевдоним У. Госсета). Проверка гипотезы о разности двух средних— одна из часто встречающихся процедур в исследовательской работе.

Уровень значимости /-критерия равен вероятности ошибочно отвергнуть гипотезу о равенстве средних двух выборок, когда в действительности эта гипотеза имеет место. Иными словами, он равен вероятности ошибки принять гипотезу о неравенстве средних, когда в действительности средние равны.

Алгоритм

применении t-критерия Стьюдента

• 1. Записать вариационный ряд результатов X экспериментальной группы.
• 2. Записать вариационный ряд результатов Y контрольной группы.
• 3. Найти выборочные средние двух выборок хи у.
• 4. Найти выборочные дисперсии Sj и S².
• 5. Вычислить эмпирическое значение критической статистики

6. Определить по таблице приложения 5 критическое значение / (а, Л| + п₂ -2) для соответствующего уровня значимости, а и данного числа степеней свободы г = //, + /г, — 2.

Если /_1М11>/_Ч>, то различия между средними значениями экспериментальной и контрольной групп существенны на данном уровне значимости.

В целях корректности использования t-критерия на выборках проверяют выполняемость следующих требований:

• 1. Наблюдения в каждой из рассматриваемых групп взяты случайным образом из одной и той же генеральной совокупности (например, спортсмены одной квалификации или дети одного возраста и др.).
• 2. Наблюдения имеют нормальное распределение
• (оцениваемое, например, по критерию х Пирсона или при небольшом числе наблюдений — по критерию W Шапиро — Уилка), и если хотя бы для одной из групп отвергается гипотеза о нормальности распределения, то лучше применить

нспарамстричсский критерий. Справедливости ради следует отметить, что некоторые авторы [6] указывают на то, что /- критерий устойчив к отклонениям от нормальности.

• 3. Дисперсии генеральных выборок должны быть равны (проверка, например, по F-критерию Фишера = причем
• <7₂

в числитель всегда ставится большая дисперсия, а в знаменатель — меньшая).

Приведем расчеты для сравнения групп (ni=n₂=12) юных спортсменов-волейболистов и футболистов 1992 г. р. по показателям работоспособности согласно тесту PWCi₇₍>/Kr массы тела.

Находим выборочные средние и дисперсии S* =D_X " 5,12, S* = D_y а 4,55.

Условия для проведения вычислений t-критерия соблюдены. Выборка взята из одной генеральной совокупности (возраст испытуемых— 17 лет) и имеет нормальное распределение (пример расчета по критерию Шапиро — Уилка см. ниже). Дисперсии сравниваемых выборок равны (по F-критерию Фишера).

Вычисляем t •.

t3Mn=l, 88KpHT=2,07, таким образом различия в средних значениях работоспособности не существенны на уровне значимости а=0,05.

Рис. 28. Диаграмма показателей волейболистов и футболистов по тесту PWCWkp.

Рассмотрим следующий пример. Для анализа возьмем время простой двигательной реакции (ДР) футболистов 9- и 14-летнего возраста (п=20 и п=12, соответственно).

Вычисляем выборочные средние 1 = 373мс; у = 257,3-чс и дисперсии ?>_х *1316,8л/с, D_y«642,8.v/c. Дисперсии значимо не отличаются F-,_Mn=2,04Kp»_T=2,65.

Здесь величина tj_Mn=9,7>t_Kp,_1T(0,01)=2,75. Таким образом, время реакции значимо отличается у футболистов 9- и 14-лстнего возраста.

Рис. 29. Диаграмма показателей футболистов по тесту ДР.

Критерий Крамера — Уэлча

В педагогике иногда t-критерий Стьюдента заменяют на более простой критерий Крамера — Уэлча. Эмпирическое значение данного критерия рассчитывается по следующей формуле:

Приведем расчеты для представленного выше примера.

Заметим, что Т_кр (0,05) = /_v(0,05;+oo) = 1,96. Поскольку T_iuo = 1,73 < 1,96 = Т_кр(0,05), то и, но критерию Крамера— Уэлча показатели работоспособности между группами футболистов значимо не отличаются.

Аналогичную процедуру проведем для расчета значимости отличий в пробеге полузащитников выигравшей и проигравшей команд на Евро-2008 по футболу.

Т =0,998 <1,96 = Т (0,05) ,.

Так как ^м*^т ' ' то по критерию Крамера —.

Уэлча показатели футболистов значимо не отличаются.