Теорема о спектре сигнала при изменении масштаба времени сигнала

Пусть сигнал fit) подвергается сжатию во времени. Новый сжатый сигнал f_a(t) связан с исходным сигналом fit) соотношением f_a{t) = fiat).

Длительность сигнала f_a(t) в а раз меньше, чем исходного сигнала J), т. е. а < 1.

Спектр сигнала fit) определится как.

Введем новую переменную интегрирования x = at, тогда t = —,.

a

dt = — dx. С учетом этого можно записать, что a

отсюда.

Итак, при сжатии сигнала в а раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр по оси частот.

Очевидно, что при растягивании сигнала во времени имеет место сужение спектра.

Выведенные соотношения показывают, что единст венный способ сокращения ширины спектра сигнала без изменения его характера состоит в том, чтобы растянуть явление во времени. Это свойство широко используется при согласовании характеристик сигнала и линии связи.

Спектр сигнала при его дифференцировании и интегрировании

Покажем, что происходит с сигналом во временной области при дифференцировании на примере прямоугольно импульса. На рис. 3.9 приведена электрическая схема дифференцирующей цепочки и временные диаграммы сигналов на входе и выходе.

Необходимо найти спектр продифференцированного сигнала.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 3.9. Дифференцирующая цепочка (а) и временные диаграммы сигнала на входе и выходе (б): С — конденсатор, Rрезистор.

Интегрируя по частям, получим.

Для реальных сигналов Нш /(0 = 0 и e~^J? f (t) =0, поэтому.

f->±" —СО Таким образом, спектр сигнала после его дифференцирования расширяется.

На рис. 3.10 приведена электрическая схема интегрирующей цепочки и временные диаграммы сигналов на входе и выходе.

Рис. 3.10. Интегрирующая цепочка (а) и временные диаграммы сигнача на входе и выходе (б)): С — конденсатор, Rрезистор

В литературе показано, что спектр сигнала /(/) после интегрирования определяется выражением.

Из данного выражения следует, что спектр сигнала после его интегрирования суживается.