Квантовая информация и вычисления

Квантовая информация, ее хранение, передача и воспроизведение, а также квантовые вычисления базируются на законах квантового мира, в основе которых лежат представления о суперпозиции квантовых состояний, их обратимой эволюции, описываемой унитарными преобразованиями, квантовом параллелизме_у интерференции и запутанности состояний. Рассмотрим кратко эти особенности.

Суперпозиция. В отличие от мира классической физики, квантовая механика предполагает, что некоторые альтернативы могут существовать одновременно. Эта возможность выражается в существовании суперпозиции альтернатив. Например, классическая монета может упасть или орлом, или решкой. Ее квантовый аналог может упасть на обе стороны одновременно. Подобным же образом, если элемент классического компьютера (бит) может в данный момент находиться лишь в одном из взаимно исключающих состояний — «О» или «1», его квантовый аналог — кубит (от англ. qubit) — может одновременно находиться в обоих состояниях. Иными словами, состояние кубита 1^) может быть представлено в виде суперпозиции состояний (векторов) 0 и 1, которые по традиции обозначают в виде кетвекторов Дирака, |0) и |1) (кет-вектор — это привычный всем матричный столбец, сопряженный ему бра-вектор — матричная строка):

где, а и р — комплекснозначные амплитуды базисных состояний |0) и 11), которые обычно и выбираются в виде базиса.

Для реализации кубита можно использовать разнообразные физические системы. Это могут быть: электронный или ядерный спин, имеющие по две различные проекции на направление внешнего магнитного поля; атом, который может находиться в двух различимых состояниях — основном и возбужденном; фотон с двумя возможными значениями поляризации или двумя направлениями движения и др. Комплекснозначные амплитуды, входящие в описание кубита, имеют следующий смысл: при измерении кубит будет обнаружен в одном из базисных состоянии |0) или |1) с вероятностями |а|² или |р|², что мы и наблюдаем на сфере Блоха (рис. 6.2, там же приводятся соответствующие пояснения).

Какие преимущества имеет кубит перед классическим битом? Фокус состоит в том, чтобы не измерять состояние кубита до тех пор, пока над ним не будет произведен некоторый набор манипуляций. Все то время пока сунерпозиционное (когерентное) состояние кубита будет изменяться при некоторых воздействиях, необходимо оградить это состояние от опасного влияния внешней среды. Неконтролируемое воздействие окружения может превратить суперпозицию в состояние, при котором реализуется лишь одна из альтернатив (декогеренция, или переход суперпозиционного состояния в смешанное). Динамические изменения состояний систем в квантовом мире очень специфичны и имеют характер так называемых унитарных преобразований.

Обратимость и унитарные преобразования. Эволюция состояния квантовой системы во времени описывается уравнением Шрёдингера (или Дирака в случае соблюдения лоренц-инвариантности пространствавремени). Основными особенностями эволюции являются обратимость

и унитарность. Обратимость означает, что если преобразовать состояние кубита в новое состояние, то это новое состояние можно преобразовать обратно в начальное. Унитарность означает, что новое состояние кубита, так же как и начальное, допускает вероятностную интерпретацию.

Рис. 6.2. Сфера Блоха:

состояние кубита может быть изображено в виде единичного вектора с компонентами (sin 0 cos ф, sin 0 sin ф, cos 0), где амплитуды базисных состояний — а = cos 0, р = c^sin 0. Северный и южный полюсы сферы единичного радиуса (сферы Блоха) соответствуют базисным состояниям кубита — |0) или |1), в то время как другие ее точки представляют состояния кубита, соответствующие суперпозиции этих двух базисных состояний Обратимость квантовой эволюции имеет принципиальное значение для квантовых вычислений: она позволяет проводить их без диссипации энергии. Таким образом, проблема отвода тепла, критическая для классических суперкомпьютеров, фактически исчезает в случае квантовых вычислительных систем. Причина выделения тепла в классических компьютерах состоит в реализации в них необратимых логических операций. Фактически диссипация энергии происходит при необратимом стирании информации. Оказывается, однако, что любые логические операции могут быть сведены к последовательностям полностью обратимых шагов, что открывает путь для их квантовой реализации.

Унитарные преобразования могут быть реализованы в виде классических устройств (расщепление пучка фотонов или изменение их фазы с помощью пластинки) или сугубо квантовых (излучение лазером квантов света, взаимодействующих с представляющими кубиты спинами). В настоящее время установлено, что квантовые компьютеры могут реализовать любой алгоритм обработки состояния многокубитного регистра (рис. 6.3), используя последовательность очень простых операций, действующих лишь на один или два кубита.

Интерференция. Одно из интересных следствий унитарных преобразований квантового состояния заключается в том, что новые амплитуды базисных состояний оказываются линейными комбинациями старых амплитуд.

Это означает, что они становятся суммой двух или нескольких (для многих кубитов) векторов. Однако сумма векторов может оказаться и большим вектором (по сравнению с начальными векторами), и нулевым. Такая игра амплитуд называется конструктивной или деструктивной интерференцией соответственно. Квантовая интерференция играет решающую роль в квантовых вычислениях. Их алгоритмы строятся таким образом, чтобы неверные решения исчезали за счет деструктивной интерференции, в то время как желаемые состояния усиливались при конструктивной интерференции.

Квантовый параллелизм. Поскольку состояние квантовой системы может быть суперпозицией многих альтернатив, число которых экспоненциально растет с размером регистра кубитов, можно воздействовать на амплитуды всех альтернатив одновременно, используя унитарные преобразования, оставляющие неизменным скалярное произведение (метрику пространства-времени). Эта возможность, называемая квантовым параллелизмом, не имеет аналогов в классических компьютерах.

Запутанность. Если регистр содержит более одного кубита, то могут возникнуть ситуации, в которых невозможно приписать определенное состояние каждому из них. Квантовый регистр устроен почти так же, как и классический. Это цепочка квантовых битов длины d, над которыми можно проводить однои двухбитовые логические операции подобно применению операций НЕ, 2И-НЕ и т. п. в классическом регистре.

Рис. 63. Представление логических операций в квантовом компьютере на основе кубитов:

NOT и CNOT — логические операции (вентили), осуществляемые квантовым компьютером Различие состоит в том, что помимо «О» и «1» существуют еще состояния суперпозиции, которые увеличивают экспоненциально число возможных операций. Поэтому состояния классического регистра — лишь жалкая тень всего богатства состояний квантового компьютера.

В общем случае состояние квантовой системы может быть определено лишь относительно состояния другой системы. Общая форма квантового состояния регистра может быть записана следующим образом:

Эго состояние будет запутанным, если его невозможно факторизовать (факторизация пространства эквивалентна его разбиению на непересекающиеся подпространства), т. е. представить в виде тензорного произведения (тензорное произведение обозначают значком ®; его действие приводит к факторизации пространства):

Ключевое различие между запутанным и факторизуемым состояниями состоит в том, что первое может быть в общем случае определено заданием экспоненциального числа комплекснозначных амплитуд, в то время как для незапутанного состояния оно линейно по числу кубитов. Это обстоятельство наталкивает на мысль, что именно запутанность, ведущая к экспоненциальному росту обрабатываемой информации, определяет беспрецедентную эффективность подлинно квантовых вычислений, поскольку задача имитации эволюции запутанных состояний на классических компьютерах оказывается трудной или даже невозможной.

Запутанность — термин, укоренившийся в литературе благодаря Э. Шредингеру (1935), характеризует нелокальные свойства частиц (запутанность вытекает при взаимодействии двух частиц из решения эволюционного уравнения Шредингера), как это, например, следует из запутанности фотонов (рис. 6.4). Перенос запутанного состояния в пространстве (перенос может быть бесконечно далеким, например, из одной части Вселенной в другую) известен в литературе как квантовая телепортация.

Рис. 6.4. Запутанность фотонов характеризует параллелизм (вертикальные срезы) суперпозиционных состояний (пересечения окружностей вверху и внизу), обеспечивающих возможность одновременного управления информацией по нескольким каналам.

В основе квантовой телепортации лежит возможность создания зацепленных (когерентных) состояний, ЭПР-пар (сокращение ЭПР происходит из названия эффекта Эйнштейна — Подольского — Розена). Перенос некоторого состояния |/ при наличии пары зацепленных систем (например, фотонов), приготовленных в состоянии Y|/₀1/V2(|00) + |ll)), приводит к возникновению в другой точке пространства того же состояния. Происходит «копирование» образа на бесконечно удаленные миры.

В действительности, дело обстоит не совсем так, поскольку скопированный объект оказывается, по крайней мере, повернутым по сравнению с оригиналом на некоторый угол 9 (фаза). Однако с позиций квантовой механики эти состояния оказываются неразличимыми, поскольку состояния, помноженные на любое комплекснозначное число, неотличимы. В этом, в частности, проявляется коренное различие квантовой и классической механики. Таким образом, изменение в одной части системы приводит к мгновенному изменению другой ее части, если состояния были изначально зацеплены (ЭПР-эксперимент). Нелокальность подразумевает мгновенное действие на расстоянии, что, в свою очередь, предполагает передачу сигнала со скоростью, превышающей скорость света. Это уже противоречит теории относительности, в которую Эйнштейн как ее создатель верил неукоснительно.

Явление запутывания довольно непонятно для повседневного восприятия. Объяснение ему сегодня ищут многие ученые на пути объединения квантовой механики и теории относительности. Основным камнем преткновения служат два несовместимых понятия: нелокальность квантового мира и локальность гравитации.