Статистические характеристики биофизических полей

Живой организм является источником самых разнообразных полей: электромагнитного, радиотеплового, инфракрасного и др. Наиболее широко в медико-биологической практике используются биоэлектрические и биомагнитные. поля. Причем поскольку в условиях физических ограничений, характерных для биоэлектрических источников, их электрическое и магнитное поля оказываются взаимосвязанными, то обычно ограничиваются исследованием электрических биопотенциальных полей.

Многоразмерное скалярное случайное поле исчерпывающим образом характеризуется n-мерной плотностью вероятности [140]:

Поскольку размерность поля определяется размерностью векгорного аргумента г, то рассматриваемые биопотенциальные поля относятся к четырехразмерным скалярным вещественным полям с г = ((, R), где t — время; R = (х, у, т) — пространственная координата. Случайное поле Цг) называется стационарным по t и однородным по R, если все «-мерные плотности вероятности (2.24) не изменяются при любом сдвиге векторного аргумента г.

На практике при изучении случайных полей обычно ограничиваются низшими моментами первого и второго порядков: средним значением поля, его дисперсией и функцией корреляции:

В частности, пространственно временная функция корреляции стационарного и однородного поля зависит только от разности векторного аргумента: р = г, — г₂.

Важной характеристикой случайного поля является радиус пространственно-временной корреляции.

Однородные пространственные случайные поля, у которых корреляционная функция не зависит от направления векгора AR = R, — R₂, а обусловлена только модулем |AR| = |R, — R,|, принято называть статистически изотропными. Для изотропных полей корреляционная функция всегда четная и вещественная, а радиус / одинаков по всем направлениям.

По аналогии со случайными процессами для случайных полей вводится понятие пространственно-временной эргодичности [140].

где Т — интервал усреднения; F, — объем усреднения. При этом корреляционную функцию стационарного однородного эргодического поля можно найти как.

где V — четырехмерный объем усреднения.

В отличие от случайных процессов для полей может иметь место полная или частичная пространственно-временная эргодичность. При практическом использовании соотношений (2.29) и (2.30) для получения средних по ансамблю путем временного усреднения ограничиваются временным интервалом, значительно превышающим время корреляции, и путем пространственного усреднения — объемом, радиус которого намного больше радиуса пространственной корреляции.

Наряду с корреляционным анализом при изучении случайных полей широко применяется метод, основанный на исследовании спектральных характеристик. Спектр случайного поля можно определить через обобщенное преобразование Винера — Хинчина.

к = (со, к_х, к_у, k_z) — волновой вектор поля; (со, к_х, к_у, к_у) — координатные составляющие вектора к; со — ось временной частоты; к_Л = (к_х, k_v, к.) — ось пространственной частоты.

Ширину полосы пространственно-временного спектра можно найти по аналогии со случайным процессом с помощью уравнения.

где G (k₀) — спектр поля Mr) на частоте к₀. Из (2.32) с учетом (2.28) следует, что радиус корреляции и ширина полосы простран ственно-временного спектра обратно пропорциональны.

При проведении физиологических исследований, как отмечалось выше, обычно регистрируется не полноразмерная реализация поля А.(г), а реализация меньших размерностей — сечения и проекции поля на соответствующие оси координат. Причем в подавляющем большинстве случаев ограничиваются измерением временного сечения поля (физиологического процесса) в фиксированной точке поверхности отведения Rq = (л'₀, у₀, z₀) — Временное сечение поля биопотенциала регистрируется, например, в одноканальных системах с электродами, размер которых мал по сравнению с радиусом корреляции.

Временное сечение поля м ожно выразить через б-функцию:

Аналогичным образом определяются объемные A®, плоскостные Цх, у) и линейные /,(х) сечения поля А/г) в момент t = t₀:

Исходные данные о поле физиологического источника часто могут иметь вид различного рода проекций [4, 5, 154]: проекция на ось времени A,_R(t), проекция на трехмерное пространство A,® и т. д. Проекции поля образуются в результате интегрирования полноразмерного поля А (г) по соответствующей координате [193]. Например,.

Временную проекцию получают, в частности, в результате интегрирования поля биопотенциалов по поверхности микроэлектрода или в результате суммирования биопотенциалов, снимаемых с нескольких электродов. Пространственная проекция поля возникает на выходе многоканального интегратора или при использовании системы корригированных отведений [154, 156].

Для сечений и проекций поля, так же как и для его полноразмерной реализации, можно определить соответствующие статистические характеристики: по сечению поля — аналогичное сечение корреляционной функции, с помощью преобразования Фурье — соответствующую проекцию спектра, и наоборот: по проекции поля — проекцию корреляционной функции и соответствующее сечение спектра [97]. Это свойство дуальности в общем случае находит отражение в гак называемой теореме о проекциях и сечениях [193], которая соотносит (п — 1)-мерные преобразования Фурье проекций с «-мерным преобразованием Фурье исходной функции, на чем основана большая часть существующих методов восстановления полноразмерных реализаций поля по его проекциям. Поскольку большинство из этих методов реализуется на ЭВМ, то в основе их лежит дискретное преобразование Фурье (ДПФ), устанавливающее связь между декартовыми отсчетами спектра и декартовыми отсчетами исходной функции [193]. Для интересующего нас случая четырехразмерного поля пара ДПФ имеет вид.

где к_и= (к_х/М_х, к /М, к./М_г, и /М,): М — число отсчетов по соответствующей координатной оси; g (n) = [(mix / Д, ппу / Д, nnz / Д, mil / Д).

На практике отнесение неполноразмерной реализации поля к проекции или сечению в определенной мере условно. В электро-физиологических исследованиях это объясняется тем, что реальные электроды в силу объективных причин [35] имеют конечные размеры, поэтому даже при монополярном отведении сечется частично сглаженная реализация поля за счет интегрирующего действия электрода. Вместе с тем вследствие недоступности многих биологических структур невозможно измерить потенциал во всех точках тела, где существует' поле исследуемого источника. В результате проецируется поле из ограниченной области пространства, поэтому полученные данные можно трактовать как сечения поля системой электродов, расположенных в фиксируемой области пространства. Тем не менее разделение реализаций на проекции и сечения оказывается в ряде случаев полезным, особенно па теоретическом этапе.