Античная математика, физика и технические науки

«Начала» Евклида — образец античной математики

Известно, что «Начала» Евклида представляют собой ряд «предложений» (теорем) и их доказательств, объединенных в несколько книг по предметному содержанию. Все предложения связаны друг с другом благодаря тому, что доказательства одних предложений опираются на другие, предыдущие. При этом характер объединения знаний предложений в систему «Начал» детерминируется строением фигур и деятельностью с ними (отдельные знания получаются в результате преобразования фигур и сведения одних фигур к другим). Рассмотрим один пример — доказательство 20-го предложения первой книги «Начал» («Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе при всяком их выборе, больше, чем третья сторона»^[1]). Перед этим доказательством находятся 5 постулатов, 9 аксиом и 19 доказанных предложений. Ссылки указывают, что доказательство 20-го предложения опирается на предложения 19-е и 5-е, а также 8-ю аксиому:

• 1. «У равнобедренных треугольников углы при основании равны между собой и по продолжении равных углов под основанием будут равны между собой» (предложение 5-е).
• 2. «И целое больше части» (аксиома 8-я).
• 3. «Во всяком треугольнике больший угол стягивается и большей стороной» (предложение 19-е).

«Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе при всяком их выборе, больше оставшейся» (предложение 20-е).

Проведенный нами (В. М. Розин, А. С. Москаева) анализ этого доказательства^[2] позволяет сделать два вывода.

• 1. Геометрические знания предложений в «Началах» получаются за счет трех типов действий:
• 1) преобразования одних фигур в другие и выделения из одних фигур других;
• 2) получения одних геометрических знаний из других;
• 3) получения геометрических знаний из фигур и отнесения геометрических знаний к фигурам.
• 2. Несмотря на то что доказательство при исследовании можно разложить на указанные три движения, фактически оно идет за счет единого движения, одновременно включающего в себя три движения. Например, выделение одних фигур из других может осуществляться только одновременно с движением в геометрических знаниях. В чертежах фигур невозможно произвести ни одной линии, не получая одновременно знания о виде фигур или их элементов, об отношениях равенства и неравенства между фигурами и их элементами. В то же время формальное движение в геометрических знаниях сопровождается одновременным движением в соответствующих фигурах.

В отличие от геометрических чертежей, используемых в земледелии и технике, фигуры в «Началах» представляют собой идеальные объекты, а геометрические знания типа «если… то…» («Если треугольник равнобедренный, то углы у его основания равны») — теоретические знания, отнесенные к этим объектам. В системе «Начал» просматривается и онтология: разные виды фигур, их конструктивные элементы, геометрические отношения — треугольники, прямоугольники, круги и т. д., точки, стороны, отрезки, плоскости, отношения равенства, неравенства, подобия, параллельности и т. д. Как же формировались «Начала» Евклида?

Исходные в генетическом отношении элементы геометрии (планы полей, алгоритмы вычисления их площадей, соотношения площадей и элементов) возникли еще в Древнем Египте и Вавилоне на стыке двух операций — восстановления границ полей, смываемых разливами рек, и сравнения полей по величине. Чтобы восстановить конфигурацию поля (правильное по величине соотношение элементов поля) и указать положение поля среди других полей (а это необходимое условие восстановления системы прилегающих друг к другу полей), вавилонские и египетские математики использовали планы полей — рисунки полей, на сторонах которых проставлялись числа, фиксирующие длины сторон поля^[3]. Таким образом, в целом поля восстанавливались с помощью знаков двух типов (чисел и рисунков), связанных между собой.

Если первоначально планы полей использовались только для восстановления полей, то в дальнейшем, как показывает генетический анализ, с их помощью стали изображать различные операции с полями (соединение или разделение полей, передел полей и т. п.). В связи с этим планы полей превращаются в знаковые модели (онтологические схемы), с помощью которых получают одновременно две группы знаний: знания о величине элементов поля и знания о типе (форме) поля и его конфигурации.

Числа, представленные на планах полей, использовались не только для восстановления полей, но и для определения их величины (площади). В ходе восстановления полей решались как прямые, так и обратные задачи (прямые — по элементам найти площадь поля, разделить площадь поля на две, три и т. д. части; обратные — дана площадь и один из элементов, найти неизвестные элементы; дана сумма и разность двух полей, найти величину каждого поля и т. п.), что приводило к формированию особых идеализированных объектов. В отличие от модели (чертежа с числами) идеализированный объект — это серия прямых и обратных операций практики, отнесенных уже не к самому объекту практики, а по материалу — к модели. Позднее на этом этапе практикуется сведение одних идеализированных объектов к другим (конструирование из более простых более сложных, разложение сложных на простые, составление из простых групп операций более сложных). Таким путем формируются таблицы пифагорейских троек и решения задач «алгебраического» типа (смотри приведенную выше реконструкцию).

Необходимым условием решения всех перечисленных задач было осуществление процедур с планами полей и числами, сравнение планов или чисел, вычленение в сложном плане более простых, составление из отдельных планов нового, сложного, установление отношений между различными элементами полей или величинами их площадей (например, деля одно число на другое, определяли, что одно поле в два раза больше другого).

Выше я отмечал (см. сноску на с. 119), что рассмотренная здесь практика вычисления площадей полей и расчета их элементов, сложившаяся в древнеегипетском и шумеро-вавилонском хозяйстве, может считаться предпосылкой становления греческой геометрии. Анализ эмпирического материала и теоретические соображения позволяют наметить три возможных пути и способа формирования системы геометрических знаний:

• 1) схематизацию и осмысление образцов решения шумеро-вавилонских и египетских задач;
• 2) измерение и анализ геометрических фигур или вещественных моделей фигур;
• 3) анализ затруднений, встречающихся в теории геометрии при доказательстве теорем или решении проблем. При этом постоянно действовали факторы, способствующие стихийной систематизации геометрических знаний.

В качестве первого можно указать познавательно-коммуникативный фактор — необходимость объяснять, как получены новые геометрические знания, а также доказательства их истинности, т. е. отнесенность к началам (идеям, сущностям).

Познавательно-коммуникативный фактор. Некоторые данные дают основание для предположения, что первоначально в греческой математике геометрические положения не доказывались (в смысле требований геометрии Евклида), а пояснялись (объяснялись в целях обучения или профессионального общения). Первые геометры, судя по скудным историческим данным, для получения геометрического знания строили чертежи и затем сводили (преобразовывали) полученную фигуру к фигурам с уже известными отношениями. При этом демонстрировались как сама фигура (позднее и способ ее построения), так и способ ее сведения к другой фигуре. Естественно думать, что если получалось не одно геометрическое знание, а несколько (двадцать, тридцать и более), то геометрические знания самой процедурой получения организовывались в длинные разветвленные цепи, занимая в такой цепи определенное «место»: геометрическое знание, А получалось на основе знания Б и В, геометрические знания Б и В — на основе знаний Г, Д, эти знания — на основе еще одной группы знаний и т. д., до тех пор пока не оставались самые «первые» знания, которые не получались, а считались известными, познанными.

В дальнейшем, вероятно, в целях обучения и облегчения профессионального общения способы получения новых знаний осознаются и описываются с помощью языка, включающего геометрические знания, термины геометрических фигур, описание процедур их построения и преобразования, описание исходных данных и требований к продукту.

Кроме того, в связи с трудностями понимания длинные описания и процессы получения и объяснения знаний должны были разбиваться на отдельные части. «Длина» каждой части, вероятно, бралась такой, чтобы описание было простым и ясным. В результате описания включали в себя: части, фиксирующие способ получения и объяснения всех предыдущих знаний в цепи, и новые части. Чтобы не повторяться, греческие математики стали в последующих описаниях опускать все части из предыдущих описаний, отсылая к ним (так начинает складываться система ссылок одних предложений на другие).

Все опущенные части геометрических преобразований и описаний заменяются знаниями, фиксирующими ситуации (условия) сведения и результаты, полученные в процессе сведения. Именно таким путем, вероятно, формировались знания типа «если… то…», которые мы находим в «Началах» («Если углы вертикальные, то они равны», «Если у треугольников равны три соответствующие стороны, то они равны»). В первой части этих знаний фиксируются ситуации сведения, а во второй — полученный в ходе сведения результат. В конце концов, изменяется и сама процедура (способ) сведения: фигуры, помимо непосредственных преобразований, начинают сводиться друг к другу с помощью знаний типа «если… то…», для чего в фигурах выделяются содержания, фиксируемые в знания этого типа. В свою очередь, для выделения таких содержаний приходится дополнительно преобразовывать одни фигуры в другие.

Таким образом, складывается новая процедура (способ) получения геометрических знаний, опирающаяся на преобразование фигур и применение знаний типа «если… то…». При этом преобразования фигур создают условия для применения определенных знаний типа «если… то…», а применение таких знаний, в свою очередь, позволяет осуществить новые преобразования фигур. Параллельно усложняется и способ демонстрации фигур и их преобразований. Требование истинности геометрических знаний, которое постепенно укореняется в сознании геометров, заставляет, во-первых, обосновывать существование фигур, имеющих определенные свойства, во-вторых, производить только те процедуры, которые вели к истине. При этом считалось, что к истине ведут такие действия, при которых новые фигуры сводятся к уже познанным, а те — к началам. Так начинают формироваться «доказательства» геометрических положений и выделяются исходные, уже познанные каким-нибудь способом геометрические знания («начала» рассуждений).

Второй фактор, способствующий систематизации геометрических знаний, — образование не только «прямых» процедур (доказательства теорем), но и «обратных» (решения «проблем»; в современной геометрии решению проблем соответствуют задачи на построение). Этот фактор условно можно назвать оперативно-познавательным.

Оперативно-познавательный фактор. Если в доказательстве по заданному объекту (фигуре или элементу фигуры) необходимо получить определенное знание, выражающее свойства данного объекта, то при решении «проблемы», наоборот, по заданному знанию необходимо построить определенный объект (фигуру или элемент фигуры с определенными свойствами). «Проблемы» поставляли для доказательств исходный материал — фигуры с определенными свойствами, выраженными геометрическими знаниями, которые и подлежало доказать. Но в то же время доказательства могли поставить исходный материал для решения «проблем».

Именно познание приводило к обратным процедурам, поскольку предполагало объективацию теоретических знаний. Полагание фигур с определенными свойствами, приписывание им определенных отношений равенства и неравенства нередко вело к противоречиям. Чтобы их избежать, греческие ученые стали проверять, можно ли по заданному геометрическому знанию построить определенную фигуру и не ведет ли подобное построение к противоречиям. Рассмотрим этот тип подробнее.

Выше мы отмечали, что для получения геометрических знаний в доказательствах строились определенные чертежи и полученную в чертеже фигуру сводили к фигурам с уже известными, познанными отношениями. В логическом плане такое сведение можно интерпретировать как отнесение к построенному чертежу (новому объекту) ранее познанных геометрических знаний. Новое геометрическое знание, таким образом, как бы включало в себя старое (познанное ранее) геометрическое знание, но относилось к новому чертежу. Представленная в этом чертеже фигура сводилась к нескольким (реже одной) ранее изученным фигурам. Можно предположить, что возникли ситуации, когда к новым чертежам были отнесены геометрические знания, позволившие получить знания, противоречащие более ранним. Разбор процедур получения таких знаний мог показать, что ошибка возникла в связи с тем, что к чертежу были отнесены «неправильные», по убеждению геометра, знания. Например, могли предположить, что треугольник можно построить из любых трех линий, а выяснилось, только из таких трех линий, две из которых всегда больше третьей линии; что против большей стороны треугольника может лежать любой угол, а оказалось — только больший угол.

Отнесение к чертежу «неправильного» знания вполне объяснимо. На первых этапах развития геометрии чертежи, судя по всему, строились «на глазок», без специальных обоснований, причем геометр, очевидно, предполагал, что данный построенный чертеж как раз такой, из которого можно получить знание, отнесенное к чертежу. Так, первоначально геометры, вероятно, не строили линию, точно проходящую через середину основания (линия проводилась всегда приблизительно через середину), а просто указывали: «Проведем линию через середину основания»; никто не строил равносторонний треугольник со сторонами, точно равными между собой, а говорили: «Треугольник равносторонний». Когда к построенному чертежу отнесено «правильное» знание, то, получая на основе этого чертежа новое знание, не встречают в системе уже познанных знаний антиномий.

И наоборот, если к построенному чертежу по ошибке отнесено «неправильное» знание, то, получая на основе его новое геометрическое знание, обязательно должны были прийти к знанию, противоречащему ранее полученным, поскольку все уже познанные геометрические знания преобразованиями фигур прямо или опосредованно связаны друг с другом и в полученные знания входят составляющие тех знаний, на основе которых данные знания были получены. Когда к построенному чертежу геометры относили «неправильное» знание, то тем самым вычленяли в нем такие чертежи-элементы, к которым в предыдущих процессах сведения были отнесены правильные знания. В результате к этим чертежам могли быть отнесены знания, образованные из разных составляющих: как «правильных», так и «неправильных» знаний. В то же время относительно тех же чертежей было получено знание, составленное только из «правильных» знаний.

Учитывая особый характер объектов геометрии — это идеальные объекты, имеющие ряд конструктивных свойств, которые задаются априорными знаниями (отношениями равенства, неравенства, подобия, параллельности и др.), — можно понять, что собой представляют данные антиномии. «Получая» относительно одного и того же чертежа два разных геометрических знания, математики фактически превращали чертеж в две разные фигуры. Однако, отождествляя фигуру с чертежом, они должны были считать, что получили относительно одной фигуры в одной процедуре два разных знания (например, знания «Углы у треугольника равны двум прямым» и «Углы у треугольника не равны двум прямым»). Вероятно, поэтому греческие математики приходят к мысли, что одно из полученных знаний не может относиться к данному объекту; это неправильное знание, оно не имеет права на существование и должно быть исключено из цепи знаний. Но, спрашивается, какое же знание из двух надо признать истинным, а какое исключить? Вероятно, то знание признавалось ложным, которое внесло разлад в уже полученные знания.

Обнаружив, что не к любому чертежу можно отнести определенное геометрическое знание, греческие математики, прежде чем оформлять доказательства, вероятно, стали проверять, можно ли к построенному чертежу отнести знание, необходимое для получения определенного нового знания. Например, можно ли для получения некоторого знания построить на отрезке угол, равный другому углу (т. е. можно ли к чертежу, на котором начерчены два приблизительно равных угла, отнести знание «Угол, А равен углу В»). Для этого необходимо обосновать (доказать), что данное знание можно отнести к чертежу, изображающему отрезок с двумя углами.

Можно предположить, что подобные затруднения и требования на определенном этапе развития геометрии были осознаны и сформулированы в виде «проблем». Как и всякую обратную задачу (по отношению к доказательству), «проблему», по всей видимости, удалось решить, когда заметили, что в процессе доказательства некоторых геометрических знаний за счет построения и преобразования фигур уже были получены такие фигуры, к которым отнесено нужное знание.

Однако не всегда для решения «проблемы» можно найти нужный образец получения геометрических знаний; вероятно, в большинстве случаев такого образца не удавалось найти. Поэтому естественно предположить, что, когда был осознан сам принцип подбора образца доказательства, отсутствующий образец стали строить специально. При его построении подбирали такое знание, в процессе доказательства которого находили нужный результат. Тем самым решение «проблем» должно было повлечь за собой получение новых геометрических знаний в цепях. Именно на данном этапе складываются так называемые обратные процедуры, точнее, пара из прямой и обратной процедур; процедуры доказательства и процедуры решения «проблем». Эта пара действовала как своеобразный «системный генератор» получения новых геометрических знаний.

Действительно, решение одних «проблем», очевидно, повлекло за собой постановку и решение других новых «проблем». И вот почему. Для решения «проблем» находятся или строятся доказательства, в которых получаются нужные для данной цели геометрические знания. Для построения доказательств точно так же необходимо построить определенный чертеж, к которому можно отнести определенное геометрическое знание. Тогда немедленно возникает вопрос, породивший постановку и решение предыдущих «проблем»: можно ли к данному чертежу отнести данное знание и т. б. Например, чтобы убедиться, что два угла на отрезке могут быть равны, необходимо доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Для этого, в свою очередь, нужно построить равнобедренный треугольник и провести в нем через середину основания и вершину высоту. Однако возникают вопросы, аналогичные предыдущему: можно ли построить равнобедренный треугольник (можно ли к треугольнику отнести знание «Треугольник равнобедренный»), можно ли через середину основания провести высоту?

Таким образом, решение одних «проблем» должно было порождать постановку и решение новой группы «проблем» и тем самым приводить к расширению группы знаний, получаемых в цепях. Решение новой группы «проблем» снова порождало постановку и решение следующей группы «проблем» и т. д.

Анализ «проблем» и доказательств в «Началах» показывает, что все движение заканчивается, когда удается прийти к постановке «проблемы», решение которой осуществлялось с помощью инструментов (например, линейки и циркуля). Так, для построения в «Началах» равностороннего (равнобедренного) треугольника проводят две окружности с одинаковыми радиусами и доказывают, что треугольник АВС равносторонний, т. к. все его стороны — радиусы, а все радиусы у окружностей равны. При этом кажется, что уже нельзя задать вопрос: а можно ли провести две окружности с одинаковым радиусом или можно ли точки А, В, С соединить отрезками АВ, ВС, АС? Греческие математики, вероятно, думали, что так сделать можно: нужно взять циркуль и линейку и провести соответствующие линии. Однако вопрос не в том, можно или нельзя провести окружность, а в том, равны ли у окружности все радиусы, т. е. можно ли к радиусам окружности отнести знание «Все радиусы окружности равны».

Третий фактор, способствующий систематизации геометрических знаний, можно назвать интерпретационным.

Интерпретационный фактор. Интерпретация в геометрическом «языке» доказательств образцов решения шумеро-вавилонских задач по нашей реконструкции позволила получить ряд новых геометрических знаний и их доказательств. Вот лишь один пример.

От вавилонской математики был получен, в частности, образец решения следующей задачи:

«Длина и ширина прямого поля. Длина превышает ширину на 10. Площадь поля 11. Длина и ширина сколько? (х—у = 10, х х у = 11, х = = ?, У = ?)».

Решение: «Раздели то, на что превышает длина ширину, пополам—10: 2 — получишь 5. Возьми результат пять раз (т. е. возведи в квадрат. — В. Р.) — получишь 25. Сложи 25 с величиной площади.

11 — получишь 36. Извлеки затем квадратный корень — получишь 6. Вычти из шести 5 — получишь 1 (ширину поля). Сложи 6 и 5 — получишь 11 (длину поля)"^[4].

На основе этого образца можно было решить аналогичные задачи, отличающиеся от данной лишь числовыми значениями, но нельзя было понять, почему разница между длиной и шириной должна делиться пополам, а полученный результат затем возводиться в квадрат, зачем величина данного квадрата складывалась с величиной площади поля и из полученного результата извлекался квадрат, почему, наконец, сумма полученного квадратного корня с половиной длины и ширины дает длину поля, а разность — ширину:

Можно предположить, что греческие математики (очевидно, поздние пифагорейцы) рассмотрели приведенный образец решения с точки зрения уже известных им чертежей и геометрических знаний. Естественно, что сначала они должны были рассмотреть подобным образом условие задачи.

• 1. «Длина и ширина прямого поля». Вероятно, задан некоторый прямоугольник АВСД, у которого известна длина ВС и ширина АВ.
• 2. «Длина превышает ширину на 10». Следовательно, одна сторона прямоугольника больше другой стороны на определенную величину.
• 3. «Площадь поля 11», т. е. задана величина (площадь) прямоугольника АВСД.
• 4. «Нужно найти длину и ширину», иначе — определить стороны АВ и ВС.

Требование задачи — определить стороны АВ и ВС — греческие геометры могли осмыслить следующим образом: два отрезка ВС и BE будут определены, если известны их разность — отрезок ЕС и произведение — величина прямоугольника АВСД, построенного на этих отрезках. Тем самым в геометрии была сформулирована новая теорема (положение): «Доказать, что два отрезка будут определены, если определен прямоугольник, построенный на этих отрезках, и определен отрезок, равный разности исходных отрезков (предложение 84 (85) „Данных“ Евклида)»^[5].

С помощью той же «техники», очевидно, было осмыслено и решение данной задачи. Приблизительно так же были сформулированы условия и решения многих других шумеро-вавилонских и египетских задач (эти формулировки и решения вошли затем в первые книги «Начал» Евклида).

Нетрудно заметить, что переформулирование на геометрическом языке образцов решения шумеро-вавилонских задач предполагало, во-первых, использование геометрической онтологии (в ее «конструкторе» нужно было представить условие и шаги решения задач), во-вторых, построение новых фигур и геометрических положений (т. е.

идеальных объектов и теоретических знаний). Другими словами, это был уже процесс функционирования формирующейся науки геометрии.

Но был, вероятно, еще один источник получения новых геометрических положений (знаний). Ван дер Варден утверждает (и мы разделяем его точку зрения), что первоначально греческие математики имели готовые тексты шумеро-вавилонской и египетской математики, которые они и описывали с помощью геометрического языка. Однако со временем должна была сложиться познавательная процедура построения подобных текстов. Можно предположить, что она включала операции сопоставления и измерения, применяемые к реальным или знаковым объектам — вещественным моделям или чертежам; по отношению к фигурам как идеальным объектам подобные знаковые модели выступали в качестве эмпирических объектов. В этом случае фигуры или их элементы не сводят одни к другим на основе мысленного наложения, а сопоставляют друг с другом как эмпирические объекты по величине или конфигурации (так в некоторых случаях поступал еще Архимед).

Последовательное сопоставление позволяет получить новые группы геометрических знаний (они, по нашей классификации, являются эмпирическими). Вот пример одной из них: «Четырехугольник в два раза больше треугольника», «У прямого (косого) четырехугольника противоположные стороны не сближаются и не удаляются» (потом стали говорить «параллельны»), «У прямого четырехугольника две любые прилежащие стороны наклонены друг к другу под прямым углом», «Противоположные стороны, которые не сближаются и не удаляются, одинаково наклонены к линии, пересекающей одну из этих сторон под прямым углом». Именно подобные серии эмпирических знаний были в дальнейшем схематизированы в языке теории геометрии.

В результате в «Началах» Евклида мы находим уже следующие геометрические знания: «Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы, равные двум прямым» (предложение 29 первой книги), «В параллелограмме противоположные стороны и углы равны между собой и диагональ разделяет их пополам» (предложение 34), «Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше треугольника» (предложение 41).

Рассмотренный здесь процесс стихийной систематизации не был единственным. Параллельно с ним развертывался и второй — сознательное построение науки геометрии и попытки обосновать самые первые познанные геометрические знания и объекты, к которым сводились все остальные. Действительно, одни и те же цепи геометрического знания можно было получить по-разному, исходя из разных познанных ранее знаний (соответственно изменялись и движения в чертежах). Выбирая в группе уже познанных знаний разные геометрические знания, можно получить цепи знаний, в которых одни и те же знания будут в одном варианте построения этих цепей познанными, в другом варианте — полученными из познанных знаний. Характерно, что с точки зрения способа получения геометрических знаний нет никакой разницы, какие знания считать познанными, а какие получать. Однако, с точки зрения отдельного геометра, познанные знания существенно отличались от всех остальных. Каждый крупный геометр мог, вероятно, считать в качестве уже познанных, истинных строго определенную группу знаний. В эту группу знания могли отбираться по самым разным признакам, например, по «простоте», или «очевидности», или «неделимости» ее объекта.

Мы полагаем, что в этот же период были осознаны следующие простые закономерности:

• а) во всех группах описаний некоторые знания не получаются, а считаются известными, познанными;
• б) в разных группах описаний известными считаются разные знания, и количество их также различно;
• в) доказательств меньше по числу и они просты и четки в тех группах описаний, где сначала получаются знания об элементах фигур (об углах, сторонах), затем знания о фигурах самой простой формы (о треугольниках и четырехугольниках) и уже затем знания о более сложных фигурах, которые раскладываются на простые фигуры (о фигурах, раскладывающихся на треугольники и прямоугольники). Одновременно была нащупана и особая форма построения геометрических знаний — определения, форма, которая частично должна была снимать сам вопрос о природе уже познанного исходного знания. Действительно, в определении знания «равно», «больше», «меньше», «параллельно» трактовались как свойства, характеристики, задающие объекты — фигуры. Если раньше говорили: «Радиусы у окружности равны», то затем стали говорить: «Окружность — это такая фигура, у которой отрезки, падающие из центра на обод (окружность), равны». За счет этого оборота речи возникало впечатление, что знание «Радиусы у окружности равны» уже не надо было получать.

Однако не все известные знания можно выразить в форме определений. Например, нельзя считать, что равные треугольники — это такие фигуры, у которых равны по две стороны и углу (есть много фигур, которые не равны, хотя у них равны по две стороны и углу), или что прямые углы — это такие углы, которые равны (есть много равных углов, не являющихся прямыми). Вероятно, поэтому подобные знания не были представлены в форме определений, а выделены в отдельную группу (аксиомы и постулаты). В эту же группу попали знания, на основе которых получены решения геометрических задач на построение (решения «проблем»).

Проблемы осмысления уже познанных знаний и выделения обоснованных принципов организации геометрических знаний, с нашей точки зрения, не могли быть решены только в языковом и операциональном планах, для их разрешения потребовалась философская рефлексия.

П. Гайденко показывает, что фигуры и другие объекты геометрии Платон помещает между миром идей и чувственным миром в область геометрического пространства. Поэтому геометрические объекты подчиняются, во-первых, «логике» существования идеального (идеям), во-вторых, «логике» чувственного мира (поэтому фигуры можно чертить, рассматривать, делить и т. д.), в-третьих, «логике» обеих этих реальностей (т. е. логике геометрического пространства). Подобное решение позволило Платону наметить интересную процедуру обоснования (и фактически систематизации) геометрических объектов. По реконструкции Гайденко, точка, линия, треугольник (плоскость), тетраэдр (объем) уподобляются в мире идеального единице, двойке, тройке и четверке (т. е. соответствующим идеям), а в мире геометрического пространства — «движущемуся» (точка — это граница, потенциальная возможность движения, движущаяся точка есть линия, движущаяся линия образует пространство, движущееся пространство порождает объем)^[6].

Следующий шаг в систематизации научных знаний делает Аристотель. В «Аналитиках» он формулирует принципы организации и построения знаний, полученных в доказательстве. Мы укажем лишь несколько главных принципов, определивших характер и строение различных вариантов «Начал».

• 1. Все знания в науке разбиваются на два класса: первичные, или «начала» (аксиомы, постулаты, определения), и «производные», полученные из «начал» в доказательствах (Аристотель в «Аналитиках» и «Метафизике» подробно обсуждает как строение и вид «начал», так и строение доказательств).
• 2. Логика развертывания знаний в доказательстве и, следовательно, организация научных знаний в систему определяются, с одной стороны, строением изучаемых объектов (их составом, отношениями между элементами и частями), а с другой стороны, правилами истинного рассуждения. В частности, Аристотель указывает, что объекты изучения геометрии — фигуры — состоят из элементов трех типов (точек, линий, плоскостей), связанных между собой различными отношениями. Правила истинного рассуждения даются Аристотелем через перечисление верных и ошибочных типов рассуждений и доказательств^[7].
• 3. Все объекты изучения в науках разбиваются на классы — «рода». Каждый род задает определенные начала и, следовательно, определенную систему знаний (науку). Переход к доказательству от одного рода к другому, как правило, запрещен^[8].

Одновременно Аристотель фактически сформулировал и соответствующую «исследовательскую программу» получения истинных знаний и построения наук. Суть ее сводилась к тому, чтобы построить и развернуть группы идеальных объектов, связанных между собой процедурами сведения (доказательства), причем в основании должны были лежать начала (характеризующие рода бытия), не требующие обоснования. Каждая группа идеальных объектов, образующая «тело» отдельной науки, во-первых, должна была отражать всю совокупность свойств и характеристик определенной предметной области — арифметики, геометрии, физики, астрономии, оптики и др., во-вторых, решать ряд интересующих ученого проблем (этот момент практически не осознавался), в-третьих, удовлетворять принципам и началам, сформулированным в ходе обоснования.

Подобная исследовательская программа фактически сводила цели античного ученого к нахождению начал доказательства (определений, постулатов, аксиом), задающих некоторый род бытия, и описанию его, т. е. к получению в доказательстве всех знаний, характеризующих рассматриваемый род. Собственно научными (истинными) считались лишь те знания об объектах, которые в качестве начал доказательства либо заключений были включены в процедуры доказательства или, что-то же самое, фиксировали единицы родов бытия (вещи, предметы). Поэтому, например, все знания об объектах, которые как условия мышления (предпосылки, ориентиры, гипотезы и т. п.) использовались при построении наук или их фрагментов, но не входили непосредственно в доказательства, не считались истинными и в науку не включались.

• [1] Евклид. Начала. — М" 1996. — Кн. I—VI. — С. 32.
• [2] Розин В. М. К анализу строения знаний типа «Начал» Евклида / В. М. Розин, А. С. Москаева // Новые исследования в педагогических науках. — 1966. — Вып. 8;1967. — Вып. 9.
• [3] Генезис элементов геометрии в доантичный период в основном рассмотрен в двухработах: Розин В. М. Логический анализ математических знаний: Автореф. дис… канд.филос. наук. — Новосибирск: НГУ, 1968; Он же. Логико-семиотический анализ знаковыхсредств геометрии (к построению учебного предмета) // Педагогика и логика. — М., 1993.
• [4] Вайман А. А. Указ. соч. — С. 887.
• [5] См.: Варден А. Ван дер. Указ. соч. — С. 165—167.
• [6] См.: Гайденко П. П. Эволюция понятия науки. — С. 211—216.
• [7] См.: Аристотель. Аналитики. — М., 1952. — С. 195—288.
• [8] Там же. — С. 195.