Принцип де Кондорсе

Этот принцип, согласно формулировке самого де Кондорсе, позволяет определить победителя в демократических выборах следующим образом: «кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, объявляется победителем на выборах».

Технически алгоритм реализации таков. Как и в процедуре де Борда, сначала каждый из голосующих ранжирует (упорядочивает) кандидатов по степени своего желания видеть его победителем. Далее выполняется парное сравнение кандидатов по числу голосов, поданных за них. Согласно.

де Кондорсе справедливое определение победителя возможно путем обработки результатов парных сравнений и выявления кандидата, имеющего наилучшие показатели в этих парных сравнениях. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с парадоксом, получившим впоследствии его имя.

Продемонстрируем его на примере.

Пример 17.2.1.

Парадокс дс Кондорсе Предположим, голосование происходит в собрании представителей из 15 человек. Будем считать, что каждый из голосующих производит ранжирование альтернатив, т.с. отдаст свой голос за один из возможных способов упорядочивания вариантов по предпочтению. Пусть на голосование поставлены три кандидата: А, В. С, и голоса распределились между шестью возможными вариантами предпочтений, как указано в столбце «Пример 1» табл. 17.2.1 (пример аналогичен тому, который был предложен в трудах самого де Кондорсе).

Примеры распределения голосов.

Таблица 17.2.1

Согласно предложенному дс Кондорсе алгоритму сравним предпочтения по отношению к кандидатам попарно. Для пары А и В: кандидата А предпочитают 6 + 2 = 8 голосующих (А> В — в строках 1,2 и 5 табл. 17.2.1); кандидата В — 4 + + 1+2 = 7 голосующих (В > А— в строках 3, 4 и 6 табл. 17.2.1). Следовательно, по мнению большинства А > В — 8 голосов против 7. Аналогично сравним другие пары. Для пары А и С: по мнению большинства С > А — 8 голосов против 7. Для пары В и С: по мнению большинства В > С — 11 голосов против 4.

Обратите внимание!

Анализируя результат, приходим к противоречию: определяемое принципом де Кондорсе отношение предпочтения не обладает свойством транзитивности'. А> В > О А.

Между тем, как мы уже говорили ранее, транзитивность — одно из основных естественных свойств отношения предпочтения, как и любого отношения порядка.

Столкнувшись с этим парадоксом (нетранзитивным отношением), де Кондорсе дополнил принцип выбора правилом, по которому в подобных ситуациях применяется принцип большинства голосов, т. е. выбирается решение, которое поддерживается большинством голосов: Л > /1 > С (6 + 0 > 4 + 1 > 2 + 2).

Противоречие между принципами де Кондорсе и большинства голосов Пусть голоса по трем кандидатам распределились немного иначе — так, как указано в столбце «Пример 2» табл. 17.2.1. Нетрудно подсчитать, что при таком исходе голосования в соответствии с принципом де Кондорсе парные сравнения кандидатов приведут к следующим результатам. Для пары А и В: В > А по мнению большинства — 9 голосов против 6. Для пары А и С: С > А но мнению большинства — 8 голосов против 7. Для пары В и С: В > С но мнению большинства — 10 голосов против 5. Тогда, но принципу де Кондорсе избранным окажется кандидат В, который при парном сравнении побеждает обоих других кандидатов. В целом в данной ситуации отношение между тремя кандидатами по принципу Кондорсе В> С> А обладает свойством транзитивности, поэтому дополнительное правило для выбора победителя не требуется.

Однако противоречие есть и в этом примере — между двумя принципами группового выбора. Если все же применить принцип большинства голосов, то отношение предпочтения между тремя кандидатами окажется обратным: А > С > В (6 > 5 > 4).

Обратите внимание!

Победителем по принципу относительного большинства голосов в примере 17.2.2 оказывается кандидат Л, который, согласно де Кондорсе, занял последнее место, уступив обоим претендентам В и С в парных сравнениях. В то же время проигравший обоим соперникам по общему числу поданных голосов кандидат В должен быть признан победителем, согласно де Кондорсе, — как превзошедший обоих конкурентов в парных сравнениях.

В обоих примерах (17.2.1 и 17.2.2) противоречия стали возможны потому, что ни один из кандидатов не набрал простого большинства голосов (51%).

Пример 17.2.3.

Результаты, найденные по трем принципам для приведенных примеров 17.2.1—17.2.3, приведены в табл. 17.2.2. Эти результаты в совокупности с многочисленными исследованиями и расчетами различных ситуаций позволяют считать, что парадоксы и противоречия между разными принципами при голосовании не возникают лишь в случае, когда победитель определяется, но принципу большинства голосов с более высоким порогом, чем 51%, — например, для квалифицированного большинства.

Однако такой случай нетипичен для множества встречающихся на практике задач принятия групповых решений. Поэтому в реальных ситуациях, например на выборах, прибегают к проведению двух туров голосования. Во второй тур выходят два кандидата, набравшие большинство голосов. Впрочем, даже при такой системе сохраняются парадоксы голосования^[1]. Иллюстрацией этого служит победа кандидата С во втором туре для примера 17.2.2 (последняя строка табл. 17.2.2), вступающая в противоречие как с преимуществом кандидата А в первом туре, но принципу относительного большинства голосов, так и с победой В по обоим методам — де Борда и де Кондорсс.

Таблица 17.22

Результаты голосования.

Все рассмотренные методы голосования, разумеется, могут аналогичным образом применяться не только к выбору лучшего кандидата, но и к любой задаче коллективного выбора наилучшего решения из нескольких альтернатив.

Существуют и другие, более сложные принципы голосования, менее распространенные на практике ввиду сложности алгоритма. У всех методов голосования есть по меньшей мере один существенный недостаток: отбрасывается мнение меньшинства (кроме консенсуса, где изначальное меньшинство попросту сводится на нет, обычно — путем убеждения). Поэтому разрабатываются методы поддержки принятия решений, в которых, по возможности, экспертные суждения обрабатываются без отбрасывания. Действительно, предполагается, что эксперты — специалисты высокой квалификации, и простое игнорирование даже части их мнений приведет к потере ценной информации. Иногда к отбрасыванию все же прибегают, но лишь в редких случаях — например, в случае так называемой борьбы с манипулированием (сознательным искажением экспертами своих оценок с целью лоббирования тех или иных альтернатив). Пример одного из простых методов борьбы с манипулированием — выставление оценок участникам спортивных соревнований (в частности, фигурного катания), когда крайние оценки судей отбрасываются, а оставшиеся — усредняются.

Вопросом о возможности создания системы голосования, которая одновременно удовлетворяла бы пяти простым, рациональным и естественным аксиомам, задался в 1951 г. Кеннет Эрроу из Стэнфордского университета^[2]. Пять аксиом К. Эрроу были сформулированы следующим образом^[3]:

• 1) универсальность — возможность всегда осуществить выбор при любом распределении голосов в группе;
• 2) единогласие, или положительная связь группового и индивидуальных предпочтений, — изменение индивидуальных предпочтений в пользу некоторой альтернативы (если каждый член группы меняет свои предпочтения так, что оценка некоторой альтернативы x_i не ухудшается, а у некоторых членов группы — улучшается). Она не может уменьшить групповую предпочтительность этой альтернативы, т. е. групповая оценка в целом альтернативы x_i также должна либо улучшиться, либо остаться прежней;
• 3) независимость от несвязанных альтернатив — исключение альтернативы, не влияющей на предпочтительность других альтернатив, не должно изменять порядок предпочтений;
• 4) полнота системы — система голосования должна позволять сравнивать любую пару кандидатов;
• 5) транзитивность — система голосования не должна нарушать транзитивность отношений избирателей, т. е. если по групповому мнению А > В и В > С, то должно выполняться и предпочтение А> С.

К. Эрроу попытался в общем виде отыскать системы голосования, удовлетворяющие этим аксиомам, однако в итоге доказал получившую широкую известность «теорему невозможности». Она утверждает, что системы голосования, удовлетворяющие всем пяти аксиомам, обладают с точки зрения демократических свобод недопустимым недостатком: для выполнения аксиоматических требований они предполагают участие диктатора — такого члена группы, что когда он предпочитает альтернативу Л альтернативе В, то и группа предпочтет Л альтернативе В, независимо от предпочтений всех остальных членов группы. Иными словами, диктатор навязывает всем остальным избирателям свои предпочтения. Требование же исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу, что и определило название «теорема невозможности».

Анализ причин столь обескураживающего утверждения показывает, что в основе возникшего парадокса лежит существование ситуаций отсутствия транзитивности, подобных описанному в примере 17.2.1, иными словами — возможность возникновения циклов при ранжировании альтернатив. Наличие подобных ситуаций обусловлено третьей аксиомой — независимости от несвязанных альтернатив. Более 60 лет математики и специалисты по принятию решений (а также по проблемам выборов) пытаются «смягчить» аксиомы Эрроу, чтобы избежать вывода, столь неприятного для демократической системы голосования. Пока же примириться с фактом существования столь парадоксального результата помогут известные слова У. Черчилля о том, что «демократия является плохой формой правления, но человечество пока не придумало ничего лучшего».

В то же время, голосование — не единственный метод группового выбора, определяющий правила согласования и выбора наилучшего решения.

• [1] Ларичев О. И. Указ. соч.
• [2] Arrow, K.J. Op. cit.
• [3] Аксиомы и «теорема о невозможности» Кеннета Эрроу. Online-лекции И. Л. Викентьева о творческих личностях [Электронный ресурс] URL: http://vikent.ru/enc/5734/ (дата обращения: 27.05.2014).