Геометрические фигуры являются идеальными объектами

Среди реальных предметов нет геометрических фигур. Но усвоение геометрического материала предполагает связь его с реальными объектами. Ведь понимание обеспечивается связью научных знаний с имеющимся у ребенка личностным опытом. Этот опыт богат и связан с окружающим ребенка миром. Изучение геометрических объектов предполагает предъявление реальных предметов в качестве материальных (по Штоффу) моделей этих объектов. Каковы же критерии выбора моделей? В процессе обучения модели часто предъявляются произвольно (относительно, конечно). На их основе ребенок создает образы, представления, на которые опирается, работая с понятием. (Геометрия как наука не оперирует представлениями, но учебный предмет геометрии постоянно к ним обращается.) В результате неудачного выбора учащиеся относят к существенным свойствам фигуры те, которыми обладает предмет, но не сама геометрическая фигура. Например, пятиклассники часто путают квадрат и куб. Это в первую очередь вызвано тем, что учащиеся в начальной школе в основном работают в плоскости, что уже опасно (отсутствует возможность сравнения плоских и объемных фигур), а предъявляются им в качестве квадрата рисунки, дощечки, картонки определенной формы, обладающие толщиной. У учащихся формируется представление, что квадрат обладает толщиной, причем любой, может быть как у куба. У ребенка не формируется представление о таком существенном свойстве квадрата, как быть плоской фигурой1.

Одними из первых геометрических фигур, с которыми знакомятся учащиеся в школе, являются отрезок, точка. Но их изучение требует развитого умения абстрагировать, что в начале знакомства с геометрическим материалом ведет к трудностям в усвоении. Пятиклассникам не скажешь, что точка в геометрии — неопределяемое понятие, им необходимо объяснить, показать, чем геометрическая точка отличается от уже знакомых им точек в рисовании, в русском языке, предъявить модель точки. В некоторых учебниках по математике для 5—6-х классов точка описывается как острие карандаша. И учителя, и ученики ориентируются в этом случае на точку как па что-то маленькое. И как следствие такого образа: а) можно наблюдать ситуацию, когда ученик утверждает, что его точка меньше, так как у него карандаш отточен острее, хотя понятие «больше» или «меньше» неприемлемо к объекту, не имеющему размеров; б) при выполнении практического задания, подводящего к выводу о том, что через две точки можно провести только одну прямую, некоторые учащиеся получают в качестве ответа несколько прямых. Такой подход не обеспечивает понимания учащимися специфики геометрических объектов, не отражает связи реального и геометрического пространств. В разных реальных ситуациях один и тот же предмет мы можем рассматривать как различные геометрические объекты. Например, вытянутый «на полквартала» стандартный дом может представлять модель точки, если в рассматриваемой ситуации важно знать его местоположение в городе, а может быть моделью отрезка, если сообщается его положение относительно проходящей рядом улицы («дом расположен перпендикулярно проспекту Космонавтов»), или моделью прямоугольника, если речь идет о площади, занимаемой домом, или моделью прямоугольного параллелепипеда, если требуется выполнить его макет. Таким образом, мы мыслим предмет как некую геометрическую фигуру, когда нам в предмете важны только те свойства, которые являются существенными свойствами этой геометрической фигуры. Отсюда вытекает критерий выбора материальных моделей (реальных предметов) геометрических фигур.