Метод наименьших квадратов

Пусть, например, в результате эксперимента получена таблица значений функции у, (/= 1, …, п). Задача состоит в аппроксимации неизвестной функциональной зависимости между х и у эмпирической формулой

где т — число параметров; ct…a," - неизвестные коэффициенты.

Для отыскания неизвестных коэффициентов применим метод наименьших квадратов, который является универсальным методом решения задач аппроксимации.

Идея метода наименьших квадратов заключается в следующем: определить искомые коэффициенты а, зависимости (5.23) таким образом, чтобы этот полином наилучшим образом описывал экспериментальные данные, а сумма квадратов отклонений экспериментальных значений у, от соответствующих значений, вычисленных по аппроксимирующему многочлену (5.23), была минимальной:

где F (a₀, а_х, …, а_т) — функция коэффициентов.

В точке минимума функции F ее производные обращаются в нуль. Отсюда получаем так называемую нормальную систему для определения коэффициентов я, (/ = 0, 1, …, т):

Если система (5.25) имеет единственное решение, то оно будет искомым. Система (5.25) упрощается, если эмпирическая функция f (x;a₀, a_v…, a_m) линейная относительно параметров a₀> а, …, а_т.

Рассмотрим наиболее распространенный частный случай, когда эмпирическая функция представлена полиномом.

Используя систему (5.25), получаем математическое условие минимума для уравнения (5.26):

В результате решения системы линейных уравнений получим коэффициенты а₀, я_ь а_т многочлена (5.26).

Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что, если сумма квадратов отклонений F мала, то сами эти отклонения также малы по абсолютной величине.

Недостатком метода наименьших квадратов является громоздкость вычислений. Поэтому к нему прибегают обычно при обработке наблюдений высокой точности, когда нужно получить также весьма точные значения параметров.