Вариационные способы построения конечно-элементных соотношений

Покажем, как конечно-элементные соотношения (9.12), (9.13) могут быть получены на основе принципа возможных перемещений, справедливого как для линейных, так и для нелинейных неконсервативных систем. В соответствии с этим принципом (см. гл. 6) механическая система находится в равновесии под действием приложенной нагрузки, если работа внутренних сил на возможных перемещениях системы равна работе внешних сил.

Работа внутренних сил стержневого элемента определится как.

Работа внешних сил будет равна.

Приравнивая работы и группируя слагаемые при одинаковых вариациях, приходим к системе уравнений.

Поскольку вариации произвольны, из системы (9.16) следуют соотношения (9.12).

Соотношения (9.12) можно также получить, используя частный принцип минимума полной потенциальной энергии, применимый для консервативных механических систем. Вклад в полную потенциальную энергию системы вносят потенциальная энергия деформации U и потенциал внешних сил W, который берется со знаком «минус»:

В равновесном состоянии полная потенциальная энергия системы принимает стационарное значение, т. е.

В итоге снова получаем систему линейных алгебраических уравнений, тождественную системе (9.12). Приведенные выше примеры показывают, что помимо прямого метода жесткостей матрица жесткости конечного элемента может быть получена на основе вариационных принципов.

Аналогично стержневому конечному элементу, работающему на растяжение-сжатие, может быть построен конечный симплекс-элемент вала, работающий на кручение (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Симплекс-элемент, работающий на кручение.

Эквивалентами соотношений (9.11)—(9.13) для простейшего конечного симплекс-элемента, работающего на кручение, будут соотношения.

где G — модуль упругости второго рода; /_кр — геометрическая характеристика сечения на кручение.

Анализируя матрицу жесткости, можно отметить следующее. Вся информация о свойствах элемента содержится в единственном параметре k^(e). Матрица жесткости не дает исчерпывающего описания поведения стержневого конечного элемента. Из системы (9.12) нельзя найти и и₂. С физических позиций это означает, что существует бесчисленное множество значений вектора перемещений, отвечающих заданному вектору узловых сил. Это связано с тем, что величины усилий /, и /₂ линейно зависимы, так как они удовлетворяют условию равновесия /, = -/₂ для любого значения k^(e). Чтобы подчеркнуть эту особенность, говорят, что смещение элемента как жесткого целого входит как собственная форма, или мода, в описание узловых перемещений элемента. С математической точки зрения матрица [k^(<)] является сингулярной, и, следовательно, обратной к ней матрицы не существует.

В то же время для полного описания напряженно-деформированного состояния элемента достаточно знать не два узловых перемещения, а только одну величину — их разность. Поэтому отсутствие знаний о перемещении элемента как жесткого целого не мешает найти величины деформаций и напряжений в элементе.