Аппроксимация характеристик ФНЧ-прототипа

В целом этап аппроксимации при проектировании фильтров включает в себя:

• • разработку требований на заданный тип фильтра;
• • задание требований и выбор метода аппроксимации для ФНЧ-прототипа;
• • расчет нормированного ФНЧ;
• • денормирование и переход к исходному фильтру.

Здесь рассмотрим некоторые способы аппроксимации АЧХ и ФЧХ.

Аппроксимация АЧХ функцией Баттерворта. Один из возможных способов построения фильтра с АЧХ, близкой к идеальной характеристике (6.2.2), и получения операторной передаточной функции (6.2.3) основан на использовании в качестве аппроксимирующего выражения функции Баттерворта.

где В"(т") — функция Баттерворта и-го порядка; п = 1, 2, 3, …; со, = со/со,. —нормированная (безразмерная) частота; со_г — граничная частота или частота среза фильтра.

На рис. 6.4.1 изображены АЧХ фильтра для «= 1иц = 10, которые свидетельствует о том, что в полосе пропускания (при ю» < 1) коэффициент передачи мощности плавно уменьшается с ростом частоты, т. е. характеристика имеет плоскую форму. Чем больше п, тем точнее АЧХ фильтра отражает форму идеальной характеристики, особенность которой проявляется в том, что ее первая производная в полосе пропу;

Рис. 6.4.1. АЧХ для ФНЧ Баттерворта.

скания равна нулю. В функции Баттерворта сохранен лишь член с максимальным показателем степени. Поэтому все производные до (2п — 1)-го порядка при со_н = 0 равны нулю, что и позволяет получить максимально-плоскую АЧХ, приближая ее форму к идеальной характеристике ФНЧ.

Из (6.4.1) следует, что ослабление мощности, определяемое выражением Ар = 101g//p (co_H), составляет -3 дБ на частоте среза (при со" = 1) независимо от порядка п фильтра. На частотах со_н «1 коэффициент передачи Н_Р(co_H)"co_H^_2w, поэтому ослабление Ар «-20wlgco_H, т. е. наблюдается спад АЧХ со скоростью 20;? дБ/декада, поскольку при увеличении частоты в 10 раз ослабление возрастает на -20п дБ. Если на заданной частоте со, вне полосы пропускания задано ослабление Ар, то с помощью выражения (6.4.1) можно определить порядок фильтра п.

Для перехода от коэффициента передачи мощности #р (С0ц) к операторной форме записи подставим со = s/j в (6.2.4), в результате чего получим.

Из уравнения.

находим 2п корней, которые являются полюсами s_n функции H_P(s) на комплексной плоскости:

Рис. 6.4.2. Расположение полюсов ₍ ФНЧ Баттерворта на комплексной плоскости:

а — для м = 3; б — для п = 4.

где k = 0, 2, 4, An-2 — для нечетных п = 1, 3, 5; k = 1, 3, 5,.

4м- 1 — для четных п = 2, 4, 6,…

В справедливости (6.4.4) нетрудно убедиться. После подстановки s_nk в (6.4.3) получаем соотношение 1 +(—1)" exp/VcTc = 0, которое выполняется для нечетных п при к = 0, 2, 4,…, Ап — 2 и для четных и при к = 1, 3, 5,…, 4м — 1.

На рис. 6.4.2 в качестве примера приведено расположение полюсов s_{n k} функции (6.2.2) для м = 3 и и = 4. Из (6.2.4) и рис. 6.4.2 видно, что полюсы функции (6.4.2) расположены на окружности единичного радиуса с одинаковым угловым расстоянием друг от друга. Полюсы операторной функции H (s) в силу квадратурной симметрии расположены в левой полуплоскости и определяются путем отбора полюсов для тех к, при которых о_пк < 0. Располагая координатами полюсов сг_{п к} и усо_п ?, можно перейти ко второму этапу синтеза — схемной реализации фильтра.

Чебышёвская аппроксимация АЧХ. Эффект максимально-плоской формы АЧХ ФНЧ достигается благодаря равенству нулю производных функции Баттерворта на частоте со, = 0, т. е. полезный эффект сконцентрирован на одной частоте. При этом переход от полосы пропускания к полосе задерживания не является таким резким, как может потребоваться в ряде применений. Рассмотрим другой способ аппроксимации, при котором эффект равномерной аппроксимации распределен, но всей полосе пропускания. Он основан на использовании полиномов Чебышёва для аппроксимации коэффициента передачи мощности.

где Т_п(оо_н) — полином Чебышева п-то порядка; г — степень неравномерности ФЧХ в полосе пропускания.

Выражения первых четырех полиномов Чебышева имеют вид

Для повышения порядка п полиномов используют рекуррентную формулу.

Фильтр нижних частот с характеристикой (6.4.5), или фильтр Чебышёва п-го порядка, обладает следующими основными свойствами:

• в полосе пропускания (при со, < 1) АЧХ изменяется между двумя значениями 1/(1 + е²) и 1, при этом имеется п точек, в которых Н_Р(со,) достигает максимального значения, равного 1, или минимального значения, равного 1/(1 +?²). По этой причине фильтры Чебышёва называются равноволновыми фильтрами. На частоте со, = 0 для нечетных п коэффициент передачи мощности Н_Р(со,) = 1, для четных ;

Рис. 6.43. АЧХ чебышёвского ФНЧ.

Н_Р(со,) = 1/(1 + в²), а на граничной частоте со_н = 1 значение Яр (сОн) = 1/(1 + в²) для любых 7?;

• • в полосе задерживания (при со, > 1) АЧХ монотонно убывает и стремится к нулю. Крутизна спада на высоких частотах составляет 20/7 дБ/декада.
• 11а рис. 6.4.3 приведены АЧХ (6.4.5) равноволного ФНЧ для п = 2 и п = 5.

В отличие от фильтра Баттерворта, полюсы фильтра Чебышёва расположены не на окружности, а на эллипсе, малая ось которого лежит на вещественной, а большая — на мнимой оси^{-плоскости.} Принцип нанесения полюсов фильтра Чебышёва показан на рис. 6.4.4.

Максимально-плоская аппроксимация ФЧХ. В ФНЧ Баттерворта и Чебышёва аппроксимируется идеальная АЧХ. В таких фильтрах при ступенчатом входном сигнале на выходе возникают большие выбросы напряжения, т. е. наблюдаются искажения формы импульсных сигналов. Возможен другой подход к аппроксимации характеристик ФНЧ, когда на первый план выдвигаются требования к получению минимальных искажений широкополосных сигналов. С этой точки зрения большой интерес представляют фильтры с линейной ФЧХ ср = Т₀и>> где Т₀ = const. При воздействии на такой фильтр гармонического сигнала U_BXcoscot напряжение U_Bblxcos ((dt — ф) = f/_BbIxcos[co (? — Tq)] на его выходе в установившемся режиме имеет постоянный временной сдвиг Т₀. Следовательно, на основании принципа суперпозиции входной сигнал u_BX(t) сохраняет свою форму и появляется на выходе фильтра с задержкой, равной Г₀, т. е. и_ВЬ1Х(?) = = Ku_BX(t — Г₀), где К = const, t > Т₀.

Один из возможных путей получения ФЧХ фильтров, близкой к линейной функции, основан на подходе, который использовался выше для получения максимально плоской АЧХ. Отличие этого случая состоит в следующем:

• • аппроксимируется ФЧХ (а не АЧХ), т. е. в качестве идеальной (исходной) характеристики принимается зависимость ф = Т₀оу_у
• • чтобы обеспечить фильтрацию нижних частот, операторная передаточная функция H (s) должна иметь форму степенного полинома //-го порядка знаменателя N (s) при постоянном числителе;
• • производная /7-го порядка знаменателя должна быть постоянной, а производные до (т?-1)-го порядка включительно — равны нулю.

Рис. 6.4.4. Связь полюсов ФНЧ Чебышёва и Баттерворта для п = 4.

Если комплексную передаточную функцию представить в виде суммы вещественной и мнимой частей, т. е. Я (/ш) = = Я"(со) + jH_M(со), то задача аппроксимации состоит в отыскании такого степенного полинома N (s), который бы обеспечивал наилучшее приближение функции.

к идеальной ФЧХ.

Поскольку (6.4.7) представляет собой сложную аналитическую зависимость фазы от частоты, вместо нес в качестве исходной функции используют производную, которая является функцией группового времени задержки т (со) = = г7ср (со)/б/со. Теперь задача аппроксимации состоит в отыскании полинома N (s), который бы обеспечивал постоянство т (со) в наиболее широкой полосе частот. Эта задача значительно проще, так как т (со) является четной рациональной функцией.

В теории цепей доказано |31], что максимально-плоскую ФЧХ ФНЧ п-то порядка с замедлением Т₀ обеспечивает передаточная функция.

Рис. 6.4.5. ФЧХ (а) и характеристики группового времени (б).

где Т₀ — нормирующий множитель, который введен для того, чтобы получить характеристику группового времени задержки т (со)/Т₀ < 1 или т (0)/Г₀ = 1; B"(s) — полином Бесселя и-го порядка.

Ниже приведены два первых полинома Бесселя и реккуренгное соотношение для наращивания их порядка п > 3:

Рис. 6.4.6. АЧХ фильтров Бесселя.

Следует отметить, что принята форма записи полинома Бесселя п-го порядка с коэффициентом при s" , равным единице.

На рис. 6.4.5 приведены фазовые характеристики и характеристики группового времени фильтров нижних частот Бесселя для некоторых порядков от п — 1 до п — 10. Из рисунков очевидно, что с повышением порядка расширяется полоса частот, в которой наблюдаются линейность ФЧХ и постоянство группового времени задержки.

На рис. 6.4.6 изображены АЧХ в логарифмическом масштабе, которые позволяют судить о влиянии порядка фильтра на его частотную избирательность.

Единственным расчетным параметром фильтров Бесселя является порядок п, выбор которого производится исходя из компромиссных соображений. Порядок фильтра п должен удовлетворять заданным требованиям как к фазовым характеристикам, так и к характеристикам затухания.