Вычислительные модели прогнозирования передвижений, расселения и размещения деятельности

Оптимизация перевозок и размещения деятельности в линейном программировании

Развитие методов математического (прежде всего линейного) программирования и исследования операций позволило обобщить и решить в общем виде (для любого числа переменных) некоторые задачи размещения, рассматривавшиеся выше (в подпараграфах 2.1.1−2.1.3). Так, модель размещения сельскохозяйственного производства И. Тюнена приобретает следующий вид:

Рис. 2.38. Зависимость плотности населения от расстояния до центра города в разных городах мира.

Рис. 2.38.1. Москва — плотность населения в 3D.

(2.24).

(2.25).

где: S — общее количество пригородной земли (га); у — способ использования земли - количество земли, используемой j-м способом; r - расстояние до рынка сбыта (км); а, — разница между валовой выручкой и производственными издержками с 1 га земли, используемой j-м способом; - транспортные издержки на перевозку урожая с 1 га земли, используемой j-м способом, на расстояние в 1 км.

Учтем, что чистый доход (реализуемый на рынке) с 1 га земли, используемой j-м способом, составит

При этом считается, что транспортные издержки на реализацию продукции j-го способа, полученной с 1 га земли, пропорциональны удалению хозяйства от рынка, т. е. равны bjr.

Данная задача является параметрической задачей линейного программирования, где в качестве изменяющегося параметра выступает (r) — расстояние до рынка сбыта.

Аналогично модели Лаунхардта-Вебера могут быть обобщены следующей однопродуктовой производственно-транспортной задачей:

(2.26).

(2.27).

(2.28).

где сi — затраты на производство единицы продукции в пункте i; - суммарные производственные () и транспортные () затраты на производство и доставку единицы продукции из пункта i в пункту; - максимально возможный объем выпуска в пункте i;  — спрос на продукцию в пункте потребления j; - объем поставок продукции из пункта производства i в пункт потребления j.

Считаем, что.

(2.29).

Чем больше максимально возможное предложение продукции превышает суммарный спрос и чем больше дифференциация производственных затрат (), тем шире возможности для оптимизации масштабов производства в каждом из производственных пунктов. Решение этой задачи позволяет удовлетворить имеющийся спрос на продукцию с минимальными издержками на производство и транспортировку.

В теории линейного программирования каждой задаче оптимизации соответствует двойственная ей задача, а поиск оптимального решения предполагает нахождение двойственных оценок, имеющих важный экономический смысл. Так, в рассматриваемой нами однопродуктовой производственнотранспортной задаче условия оптимальности выражаются посредством двойственных оценок следующим образом.

Пусть - оценка i-го пункта производства, - оценка j-го пункта потребления. В двойственной к рассматриваемой нами задаче имеем следующие соотношения:

(2.30).

(2.31).

Из теории двойственности следует, что неравенство (2.31) выполняется как равенство для каждого положительного значения перевозки в оптимальном решении задачи, т. е.:

, для всех (2.32).

Мы видим, что: - оценка, характеризующая ренту по местоположению i-го пункта производства в расчете на единицу продукции (т.е. тот максимальный эффект, который получит производитель от выпуска дополнительной единицы продукции в пункте i); - полные затраты потребителя из пункта j на приобретение единицы продукции, включая себестоимость продукции , затраты на доставку продукции в пункт , а также ренту по местоположению производителя продукции (т.е. удельные затраты производителя от размещения в пункте г, возникающие, например, в связи с арендой или покупкой земельного участка).

Таким образом, оказывается ценой продукции в пункте j при оптимальном решении задачи, а удельная (на единицу продукции) рента показывает, что весь дополнительный эффект производителя от выпуска дополнительной единицы продукции в пункте i отразится в ставках арендной платы за землю и других расходах, связанных с местоположением производителя.

Поскольку в пункте j по цене может потребляться продукция поставщиков из нескольких пунктов производства, получаем равенство (2.32), т. е. производители, выигрывающие от расположения в пунктах с низкими затратами на производство и транспортировку, получат более высокую ренту по местоположению (которую или присвоят себе, или заплатят собственнику земли, или частично выплатят муниципалитету или государству в виде более высоких налогов).

Аналогично производители из пункта i будут поставлять свою продукцию во все пункты, где конечная цена потребителя отличается от их производственных и транспортных издержек на величину удельной ренты по местоположению, т. е.:

(2.33).

Во второй половине XX в. решению задач размещения методами математического программирования было посвящено много усилий экономистов и математиков. Рассмотренные в данном параграфе простые примеры лишь иллюстрируют основные идеи этого направления экономико-математического моделирования. В условиях плановой экономики в СССР строились многопродуктовые производственно-транспортные модели большой размерности, пытавшиеся учесть ограничения на объемы потребляемых ресурсов, включая трудовые, различные виды продукции и используемых технологий. Имеются также многоэтапные и динамические модификации данной задачи, учитывающие несколько стадий переработки сырья (добыча и производство сырья, производство комплектующих узлов и деталей, сборка, удовлетворение спроса на готовую продукцию).

Недостатком оптимизационных моделей размещения является то обстоятельство, что лучшие решения при формализованных в задаче ограничениях, как правило, оказываются нежизнеспособными, так как не учитывают интересы и поведение реальных экономических агентов, не в состоянии учесть все факторы, оказывающие влияние на принятие ими решений о размещении, производстве, поставках и перевозках, а также оказываются очень чувствительными к изменению граничных значений заданных ограничений и других параметров модели, которые в реальной жизни могут изменяться весьма динамично (себестоимость продукции, удельные транспортные издержки, транспортные тарифы и пр.). Чем глобальнее задача размещения, чем больше факторов пытается учесть экономико-математическая модель, тем менее реалистичным оказывается результат. Вот почему многопродуктовые производственно-транспортные модели нашли весьма ограниченное применение даже в СССР, где полученные оптимальные решения задач большой размерности использовались для обоснования крупных программ освоения территорий, создания территориально-производственных комплексов (ТПК) и в других задачах территориального планирования, но эти планы и программы, как правило, реализовывались лишь частично, с большими корректировками, а полученные на основе экономико-математического моделирования оптимальные решения никогда не были осуществлены на практике.