Имитационные модели анализа и прогноза эколого-экономического состояния региона на основе ориентированных графов

Имитационные модели позволяют объединить различные показатели, факторы (компоненты), характеризующие анализируемый экологоэкономический процесс, учесть взаимодействие между рассматриваемыми компонентами и провести прогноз изменения этих показателей. Основой решения таких задач являются ориентированные графы (орграфы)^[1].

В эколого-экономических моделях на основе ориентированных графов большое внимание уделяется отображению обратных связей, которые присутствуют в любой сложной системе. Благодаря наличию обратных связей в моделях результаты моделирования (анализа и прогноза) оказываются гораздо более достоверными, чем при использовании математического аппарата, который эти обратные связи не способен учесть. Наглядность и простота реализации аппарата решения задач на основе имитационных моделей с помощью орграфов делают их доступными для широкого круга специалистов, не обладающих глубокими познаниями в области прикладной математики.

Геометрически ориентированный граф можно представить в виде набора вершин, обозначаемых кружками, и дуг, соединяющих эти вершины. Дуга задает направление от одной вершины к другой. На рис. 5.6 показан орграф из четырех вершин.

Рис. 5.6. Пример ориентированного графа.

Путем в орграфе называется такая конечная последовательность дуг, в которой начало каждой последующей дуги совпадает с концом предыдущей. Дуги можно обозначить парой вершин, которые она соединяет. Например, от вершины 1 к вершине 2 ведут два пути: первый путь {(1, 2)} и второй путь {(1, 3); (3, 2)}. Путь можно записать в виде последовательности вершин, через который он проходит. Например, второй путь можно записать следующим образом: {1,3, 2}.

Контуром называется путь, начальная вершина которого совпадает с конечной. В орграфе, представленном на рис. 5.6, контур отсутствует. На рис. 5.7 представлен орграф с контуром, проходящим через вершины 2, 4 и 3.

Рис. 5.7. Пример орграфа с контуром.

Вершины, в которые не заходят дуги, называются начальными. Вершины, из которых не выходит ни одной дуги, называются конечными.

Матрицей смежности вершин орграфа называется квадратная матрица, каждый элемент которой численно равен единице, если есть дуга, идущая от вершины г к вершине/ Если такой дуги нет, то элемент (у) матрицы смежности равен нулю. При решении многокомпонентных задач используются орграфы, в которых любые вершины i и j может непосредственно соединять только одна дуга. В табл. 5.15 показана матрица смежности для орграфа, представленного на рис. 5.8.

Рис. 5.8. Пример орграфа.

Таблица 5.15

Матрица смежности для орграфа.

Исследование особенностей орграфа следует начать с выявления начальных и конечных вершин графа. Для этого достаточно просуммировать элементы матрицы смежности вершин орграфа, но строкам и, но столбцам. С помощью этой операции будут найдены полустепени исходов и полустепени заходов каждой вершины. Наличие ненулевых полустепеней позволит определить начальные и конечные вершины. В табл. 5.16 приведена матрица смежностей с расчетом полустепеней исходов и полустепеней заходов для графа, приведенного на рис. 5.8.

Таблица 5.16

Матрица смежности вершин орграфа и определение его начальных и конечных вершин.

Поскольку в приведенной таблице нет ни одной вершины, у которой полустепень захода была бы равна нулю, то в орграфе нет ни одной начальной вершины, т. е. вершины, в которую не заходит ни одна дуга. Полустепень захода равна нулю для вершины Е₂, следовательно, данная вершина является конечной. Таким образом, в рассматриваемом орграфе нет начальных вершин, но есть одна конечная вершина Е₂.

Следующая задача состоит в установлении достижимости вершин орграфа из определенной вершины. При значительном числе вершин и дуг такая задача требует аналитического решения. На основе матрицы смежности А вершин орграфа следует построить максимальную матрицу смежности, или матрицу достижимости. Максимальная матрица смежности D состоит из нулей и единиц, причем единица, стоящая на месте (/, у), показывает, что из вершины i можно перейти к вершине j по какому-либо пути. Для получения матрицы D можно воспользоваться следующим алгоритмом.

Рассмотрим алгоритм получения максимальной матрицы смежности (матрицы достижимости).

Шаг 1. Полагаем i = 1. Присваиваем d_l}— а^ для всех i = 1, 2, …, nj = 1, 2,…, /?.

Шаг 2. В строке с номером г матрицы D отыскивается элемент d^ = 1.

Шаг 3. Строка i матрицы D по правилам булевой алгебры складывается со строкой^ матрицы А поэлементно d_it= d_if ® 1= 1,2,…, п. Правила сложения булевой алгебры:

Шаг 4. Элемент^{отмечается} символом *.

Шаг 5. Вновь просматривается строка г матрицы D с целью определения неотмеченного элемента. Таким элементом может быть и ненулевой элемент, получившийся после сложения на шаге 3. Если новый ненулевой элемент найден, то переход к шагу 3; в противном случае — переход к шагу 6.

Шаг 6. Если i = п, то искомая матрица получена. В противном случае i = = i + 1; переход к шагу 2.

На основе матрицы смежности (табл. 5.16) проведем расчет матрицы достижимости. В табл. 5.17 приведена матрица достижимости для рассматриваемой задачи.

Таблица 5.17

Матрица достижимости.

Анализируя матрицу достижимости, можно сказать, что, например, из вершины ?₃ можно достичь любой вершины орграфа.

Следующая особенность орграфа — наличие сложных контуров (циклов). Сложный контур включает в себя ряд простых контуров. Для отыскания сложного контура надо воспользоваться полученной матрицей достижимости. В приводимом ниже алгоритме есть возможность отыскания нескольких сложных контуров. Полученный сложный контур надо проанализировать дополнительно, поскольку он может оказаться простым контуром.

Рассмотрим алгоритм поиска сложных контуров в орграфе.

Шаг 1. Положим i = 1; т = п.

Шаг 2. Проверка: d_u= 1? Если да, то переход к шагу 5; в противном случае — переход к шагу 3.

Шаг 3. Проверка: i = ml Если да, то решение закончено, замкнутых контуров в графе нет. В противном случае — переход к шагу 4.

• 4. Положим i = i+ 1. Переход к шагу 2.
• 5. Найти произведение W_t = d_n -d_H.
• 6. Ненулевые компоненты вектора W стоят на местах, соответствующих номерам вершин орграфа, входящих в контур. Пусть количество ненулевых элементов в векторе W равно п.
• 7. Вычеркнуть из матрицы D строки и столбцы, соответствующие вершинам, входящим в выявленный контур. Новая размерность матрицы D будет п.
• 8. Если п- О, то решение закончено — все вершины вошли в определенные выше контуры. В противном случае — переход к шагу 1.

Продолжим анализ орграфа, приведенного на рис. 5.8. В матрице достижимости (см. табл. 5.16) элемент _{ = 1. Находим произведение первой строки и первого столбца матрицы: VK =(1,0, 1, 1, 1).

Ненулевые элементы в векторе стоят на первом, третьем, четвертом и пятом местах, следовательно, вершины Е_{, Е₃, Е_л, Е₅ входят в сложный контур. Если вычеркнуть строки 1, 3, 4, 5 из матрицы Д то получится матрица, состоящая из одного элемента (размерностью п — 1), равного нулю. Поиск замкнутых контуров закончен. Единственная вершина, которая не входит в контур, — вершина Е₂.

При анализе многокомпонентных задач, в основе которых лежат ориентированные графы, чрезвычайно важной оказывается поиск всех контуров. Для решения этой задачи можно использовать следующий достаточно простой алгоритм, в основе которого лежит знание матрицы смежности и матрицы достижимости орграфа. Для решения задачи определения всех контуров в графе можно, например, воспользоваться модифицированным алгоритмом Джонсона.

Ориентированные графы являются основой представления многокомпонентных систем. В качестве вершин используются показатели, а дуги указывают влияние изменения одного показателя на изменение другого показателя.

Ориентированные графы являются основой представления многокомпонентных систем. В качестве вершин используются показатели, а дуги указывают влияние изменения одного показателя на изменение другого показателя. Например, цена влияет на продажи продукции, а продажи продукции влияют на цену. В результате получаем простейший орграф (рис. 5.9).

Рис. 5.9. Простейший орграф.

Построенную модель можно сделать более информативной, если дугам орграфа приписать знак «+» или «-». Знак «+» ставится в случае, если:

• • при увеличении значения показателя, от которого идет дуга, показатель, к которому дуга приходит, увеличивается;
• • при уменьшении показателя, от которого идет дуга, показатель, к которому дуга приходит, уменьшается.

Следовательно, между показателями имеется прямопропорциональная зависимость.

Знак «-» ставится в случае, если между показателями имеется обратно пропорциональная зависимость.

Полученный орграф называется знаковым; поскольку на дугах знакового орграфа стоит +1 (или просто «+») или -1 (или просто «-»), то этот коэффициент обозначим eji (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Знаковый орграф.

Для моделирования динамики в таких моделях необходимо задать начальный импульс, воздействующий на один или несколько показателей. Например, если в рассматриваемом орграфе предполагается увеличить цену (рис. 5.11), то это решение — начальный импульс, который направлен на рост цены (шаг 0).

В ответ на рост цены от начального импульса продажи будут падать (знак «-1» на дуге от цены к продажам), что показано стрелкой вниз на шаге 1. Падение продаж приведет к падению цены (знак «+1» на дуге от продаж к цене), что показано стрелкой вниз на шаге 2. При падении цены продажи возрастают — шаг 3, стрелка вверх. Продолжим этот процесс моделирования динамики и получим волнообразный процесс изменения моделируемых показателей, который отражает процесс поиска равновесной цены.

Рассмотрим более сложный вариант ориентированного графа. На рис. 5.12 представлен орграф, отражающий проблему экономического развития и загрязнения окружающей среды в городе.

Рис. 5.11. Пример орграфа с заданным начальным импульсом.

Рис. 5.12. Знаковый орграф изучения развития промышленности в городе и изменения состояния окружающей природной среды.

В рассматриваемых моделях есть важнейшая особенность: контур в формируемом орграфе обеспечивает моделирование обратной связи.

Контур усиливает отклонение тогда и только тогда, когда он содержит четное количество отрицательных дуг. Контур противодействует отклонениям тогда и только тогда, когда в нем содержится нечетное число отрицательных дуг.

Обратная связь — неотъемлемый элемент любой сложной экологоэкономической системы. Контуры, которые усиливают тенденцию к отклонению от начального состояния, называются контурами положительной обратной связи. Контуры, которые подавляют тенденцию отклонения от начального состояния, называют контурами отрицательной обратной связи.

Для определения веса е_У} можно использовать один из трех методов:

• • метод непосредственного расчета весов дуг орграфа;
• • статистический метод оценки весов дуг орграфа;
• • метод экспертной оценки весов дуг орграфа.

Метод непосредственного расчета весов дуг орграфа весьма прост, но не всегда может быть использован. Суть метода состоит в определении отношения между двумя связанными показателями. Например, если показатель i — средний доход населения, a j — бюджет региона, а налог на доходы составляет 12%, то е$= 12% / 100% = 0,12. Этот подход предельно прозрачен, но не всегда может быть использован, поскольку связь между показателями орграфа зачастую выражается в более сложных формулам.

Статистический метод оценки весов дуг орграфа позволяет определить вес дуги на основе обработки статистической информации. Простейшая процедура оценки состоит из двух этапов: расчете парного коэффициента корреляции и определении веса коэффициента линейной регрессии. Если модуль парного коэффициента корреляции меньше 0,3, то она считается слабой, такую дугу не следует учитывать в модели. Знак парного коэффициента корреляции показывает прямую или обратную связь между показателями. Для оставшихся после такой проверки дуг необходимо определить веса, приняв их равными коэффициенту линейной регрессии.

Метод экспертной оценки весов дуг орграфа является наиболее распространенным на практике. Экспертная группа оценивает наличие дуг, знаки и весовые коэффициенты на дугах. В качестве весовой оценки дуги используется среднее арифметическое из оценок экспертов.

При экспертной оценке можно задавать лексические единицы, облегчающие выбор варианта оценки эксперта. В качестве таких единиц можно использовать шкалу, приведенную в табл. 5.18.

Таблица 5.18

Лексическая шкала оценки воздействия показателя i на показатель j и ее перевод в количественное значение веса на дуге (i, j)

Свойства взвешенного орграфа оказываются весьма чувствительными к весам, которые присваиваются дугам, поэтому значение весов следует устанавливать с возможно большей точностью.

Основой моделирования многокомпонентных задач являются импульсные процессы. Сущность импульсного процесса состоит в том, что какойлибо вершине задается определенное изменение. Эта вершина актуализирует всю систему показателей, поэтому следует назвать ее активной или активизирующей. Таких вершин может быть несколько — обычно исследователь сам указывает активизирующие вершины и начальные изменения в этих вершинах.

Моделирование изменения показателей проводится по шагам 5=1, 2, п. Начальные значения показателей в вершинах орграфа принимаются равными V/(0), I е G. Необходимо определить последовательность значений показателей i: V,(S), 5=1,2, …, п и изучить тенденции изменения каждого из рассматриваемых показателей. В имеющемся знаковом или взвешенном орграфе каждая дуга (i, j) е. G имеет коэффициент причем если орграф знаковый, то этот коэффициент равен +1 или -1, а если орграф взвешенный, то данный коэффициент принимает определенное числовое значение со своим знаком. Для любого шага моделирования значение показателя в вершине i можно определить по формуле.

где Pj (S) — импульс, Pj (S) = Vj (S) — Vj (S- 1); J= {/': (y) e G}.

На практике возможны различные варианты реализации приведенной выше формулы расчета значений показателей на базе импульсов (табл. 5.19).

Таблица 5.19

Варианты формул для расчета значений показателей орграфа на базе импульсов.

Наиболее распространенным вариантом является использование первой формулы из табл. 5.19. Предположим, что в модели, представленной знаковым орграфом на рис. 5.12, начальные значения всех показателей равны нулю, а активизирующая вершина — «производство» и начальное изменение — равны 1. Значения в других вершинах будут меняться с каждым шагом имитации t, причем это изменение может быть определено согласно формуле.

где Vj (S) — значение вершины (показателя) i на шаге S Pj (S) — изменение значения вершины i на шаге t: Pj (S) = Vj (S) — V,(5- 1).

Пример 5.8.

На рис. 5.13 представлен пример орграфа. Известны следующие данные: вершина 4: Р₄(3) = 5, Kf (4) = 6; вершина 7: V₇(3) = 2, V₇(4) = 0; вершина 2: V^₂(4) = 8.

Необходимо найти значение показателя 2 на шаге 5 — И,(5).

Рис. 5.13. Пример орграфа.

Решение.

Найдем импульсы показателей 4 и 7:

По формуле импульсного процесса определим значение показателя 2 на шаге 5:

Пример 5.9.

Проведем расчет изменений значений показателей модели орграфа, представленной на рис. 5.12, при условии начального воздействия (начального импульса) на показатель «производство». Инвестор решил вкладывать средства в развитие производства, т. е. начальный импульс Р₀ = +1 воздействует на производство. Расчеты целесообразно проводить в специальной форме (табл. 5.20).

При проведении моделирования исходный уровень принимается на уровне значений 0. С ростом показателя это значение будет положительным, при падении значения показателя — отрицательным.

Исходный импульс +1 записывается на шаге S = 0 в колонки V и Р показателя «производство». Остальные показатели имеют нулевые значения V и Р. Импульс Р= 1 от производства (см. дуги на рис. 5.12) переходит к «численности» и «отходам». На этих дугах знаки «+», т. е. показатели изменяются прямо пропорционально изменению показателя «производство».

Моделирование изменений показателей знакового орграфа.

Расчет нового значения для численности проводится по следующей схеме: старое значение «численности», равное 0, складывается с импульсом от «производства» (равным +1), поскольку на дуге знак «+». Получаем по формуле.

Такие же расчеты проводим и для показателя «отходы». По остальным показателям (которые не пересчитываются) переносим значения из предыдущего шага.

Затем рассчитываются импульсы Р на шаге S = 1, как значение V на шаге S = 1 минус значение V на шаге S = 0. Теперь на шаге S = 1 имеем два ненулевых импульса: для показателей «численность» и «отходы» (рис. 5.14).

Рис. 5.14. Изменение показателей в соответствии с результатами моделирования на основе орграфа, представленного на рис. 5.12:

——численность населения;———производство;—загрязнение окружающей среды;———-заболеваемость Возможны три варианта решения сложившейся неблагополучной экологодемографической ситуации:

• 1) выделять средства городского бюджета на работу очистных сооружений, которые позволят снизить уровень отходов;
• 2) на уровне местного законодательства обязать предприятие выделять финансовые средства на работу очистных сооружений пропорционально росту производства;
• 3) реализовать оба источника средств для работы очистных сооружений.

Для каждого из указанных случаев будет собственная модификация орграфа, которая позволит провести расчеты и на этой основе выявить лучший вариант решения рассматриваемой проблемы.

Часто знаковый орграф оказывается наиболее детализированным вариантом модели поставленной проблемы, поскольку с его помощью можно рассматривать не только количественные, но и качественные показатели. Модели, основывающиеся на знаковых орграфах, имеют много упрощений. В частности, в такой модели полагается одинаковое воздействие по всем дугам, отличающееся только знаком. Однако при помощи даже такой упрощенной модели удается получить хорошие практические решения. Для повышения глубины анализа проблемы, повышения достоверности модельных расчетов целесообразно каждой дуге присвоить не знак, а вес со своим знаком. В результате будет получен взвешенный орграф, который является более тонким инструментом исследования, чем знаковый орграф.

Для иллюстрации функционирования модели на основе взвешенного орграфа воспользуемся моделью, представленной на рис. 5.12.

Рис. 5.15. Взвешенный орграф модели развития промышленности в городе и изменения состояния окружающей природной среды.

Если активизирующим показателем будет производство и его импульсное значение будет равно единице, то можно определить остальные значения показателей на протяжении ряда шагов моделирования. Заметим, что в данном варианте модели отсутствует показатель увеличения мощностей очистных сооружений. Предположим, исходные значения приняты на нулевом уровне. Это возможно, если в задаче предполагается установить отклонения от исходных значений (табл. 5.21).

Наращивание мощности очистных сооружений возможно за счет бюджета (финансирование очистки в зависимости от роста заболеваний), либо за счет средств предприятия (финансирование в зависимости от роста производства), либо за счет обоих источников. На рис. 5.16 представлен вариант модели для прогнозирования изменения показателей развития промышленности в городе и изменения состояния окружающей природной среды с учетом роста мощностей очистки за счет средств предприятий города.

Таблица 5.21

Результаты моделирования изменения показателей развития промышленности в городе и изменения состояния окружающей природной среды на основе взвешенного орграфа.

Рис. 5.16. Взвешенный орграф модели развития промышленности в городе и изменения состояния окружающей природной среды с учетом наращивания мощностей очистных сооружений за счет средств

предприятий города Наличие в модели многих контуров, усиливающих отклонение, предполагает неустойчивость. В то же время наличие многих контуров, противодействующих отклонению, также может приводить к неустойчиво;

сти за счет увеличения колебаний. Если колебания показателей затухают и система приходит в определенное состояние, характеризующееся определенным уровнем показателей, то данная система устойчива.

Различают абсолютную устойчивость и импульсную устойчивость.

Абсолютная устойчивость предполагает ограниченность значений в последовательности Vi (S), 5=1, 2,…, п.

Импульсная устойчивость предполагает ограниченность значений в последовательности Pi (S), 5 =1, 2,п.

Взвешенный орграф находится в состоянии абсолютного равновесия, если 1/ (S) = Vi 6 G д 5 = 5', S' +1,…

Взвешенный орграф находится в состоянии импульсного равновесия, если.

При рассмотрении знаковых орграфов была введена оценка контура положительной и отрицательной обратной связи по числу отрицательных знаков на дугах контура. При этом было подчеркнуто, что это правило работает для отдельно взятого контура, а не для всей системы. Если в системе существуют несколько контуров и если даже все эти контуры отрицательной связи, то это не значит, что в орграфе будет достигнуто устойчивое значение показателей. В связи с приведенными определениями устойчивости системы следует ввести более мощный аппарат оценки устойчивости.

В качестве основы оценки устойчивости системы в целом следует использовать собственные значения характеристического многочлена матрицы смежности. Эти критерии годятся для оценки устойчивости знаковых и взвешенных орграфов^[2]. В силу их широкого распространения в анализе и решении задач природопользования этот способ оценки весьма важен.

Утверждение 1. Если взвешенный орграф импульсно устойчив для всех простых импульсных процессов, то каждое собственное значение характеристического многочлена матрицы смежности орграфа не превосходит единицы по абсолютной величине.

Обратное утверждение. Если взвешенный орграф имеет собственное значение характеристического многочлена матрицы смежности, превосходящее по абсолютной величине единицу, то рассматриваемый орграф импульсно неустойчив для некоторого простого импульсного процесса.

В соответствии с приведенным определением может быть найдена такая вершина орграфа, которая, будучи активизирующей, не приведет к импульсной неустойчивости.

Следующие два определения следует использовать последовательно: если выполняется утверждение 2 и установлен факт импульсной устойчивости, то следует проверить утверждение 3 и попытаться установить факт абсолютной устойчивости.

Утверждение 2. Если все ненулевые собственные значения характеристического многочлена матрицы смежности взвешенного орграфа различны и не превосходят по абсолютной величине единицы, то орграф имиульсно устойчив для всех простых импульсных процессов.

Утверждение 3. Если орграф импульсно устойчив для любого простого импульсного процесса и среди собственных значений характеристического многочлена нет значений, равных единице, то рассматриваемый орграф абсолютно устойчив для любого простого импульсного процесса.

Приведенные выше результаты можно использовать для оценки устойчивости взвешенных орграфов по отношению к простым импульсным процессам. Но эти определения дают возможность оценить устойчивость взвешенного орграфа в целом, тогда как важно проанализировать и выявить те контуры, которые мешают устойчивости моделируемой системы. К сожалению, в настоящее время такие точные математические методы оценки отсутствуют. Имеются лишь некоторые результаты, касающиеся частных вариантов структур орграфов.

Для характеристики устойчивости контура целесообразно использовать частный критерий устойчивости U, который рассчитывается по формуле.

где р — множество дуг, составляющих простой контур орграфа^[3].

В табл. 5.22 приведены варианты оценок простого контура с помощью данного критерия устойчивости.

Таблица 5.22

Оценка простого контура с помощью частного критерия устойчивости.

Импульсная или абсолютная устойчивость взвешенного орграфа предупреждает о том, что в системе что-то не в порядке, необходимо изменить структуру системы (добавить новые вершины, удалить или добавить дуги, изменить коэффициенты) или провести искусственное регулирование.

Особенностью многокомпонентных задач является то, что с помощью орграфов удается объединить в модели системы различные социальные, экономические и экологические показатели. Часть этих показателей может иметь статистическую базу, другая часть — не иметь, а третья — оцениваться качественно. С помощью решения многокомпонентных задач можно оценить тенденцию развития системы, что, безусловно, ценно. Но при уточнении модели можно сформировать количественный прогноз изменения показателей системы, а также найти различные варианты воздействия на изучаемую систему с целью получения лучшего варианта.

Результаты прогнозирования развития сложных социалыю-экологоэкономических систем зависят от адекватности отражения реальных процессов в виде экономико-математической модели. При использовании ориентированных графов в качестве основы модели прогнозирования развития социально-эколого-экономических систем необходимо как можно более корректно отражать зависимости между используемыми в модели показателями. Эти зависимости могут быть, например, нелинейными.

Для более точного отражения нелинейной зависимости между показателями следует перейти от взвешенного орграфа к функциональному. В функциональном орграфе дугам ставится в соответствие вместо знака или весового коэффициента функциональная зависимость:

Дуге (/, i) можно поставить в соответствие широкий набор функциональных зависимостей/[Vy (S)], приведенных в табл. 5.23.

Таблица 5.23

Варианты функциональных зависимостей показателя i от показателя j

Возможно видоизменение приведенных формул для использования приростных значений показателя г, а также величин импульсов, например:

В случае если на показатель г воздействует одновременно несколько показателей j е J_v следует провести суммирование отдельных зависимостей, принадлежащих дугам, входящим в вершину, соответствующую i-му показателю, например:

Рассмотренные импульсные процессы позволяют решить достаточно широкий круг задач из области экономики природопользования. Однако любые показатели имеют допустимую область изменения, и в процессе решения могут быть получены абсурдные результаты, если не ограничить диапазон изменения всех или части показателей. В рассмотренной ранее модели рыночного механизма установления цен и выпуска продукции все показатели, за исключением прибыли, не могут быть отрицательными. Кроме того, может быть целесообразным ограничить падение цены ниже некоторой величины, которая задается себестоимостью производства продукции и минимальным уровнем рентабельности.

Таким образом, при решении многочисленных задач социо-экологоэкономического развития необходимо учитывать так называемые параллелепипедные ограничения:

Для того, чтобы учесть такие ограничения, следует видоизменить расчетную формулу импульсного процесса следующим образом:

Эта достаточно простая модификация приводит к качественно новому уровню моделирования на базе орграфов. Процесс развития показателей системы оказывается введенным в определенные границы, что имеет место в действительности.

До сих пор рассматривались ориентированные графы, в которых единственной количественной характеристикой является весовой коэффициент (функция или знак) на дуге. Для прогнозирования экосистем этого недостаточно, поскольку специалистов может интересовать вопрос не только о том, какой будет система, но и в какие сроки система достигнет того или иного состояния. В этом случае необходимо каждой дуге поставить в соответствие не только коэффициент, определяющий влияние одного показателя на другой, но и задержку реализации изменения одного показателя в ответ на изменение другого. Если эта задержка равна нулю, то изменение показателя будет произведено мгновенно; если же указан определенный интервал времени, то изменение показателя будет произведено только по прошествии указанного интервала времени. Эти возможности еще более усиливают применяемый математический аппарат.

Под мгновенным изменением показателя следует понимать изменение показателя внутри рассматриваемого временного интервала, например, если интервал временной шкалы равен одному году, то все изменения показателей системы, которые меняются внутри года (реакция показателя равна неделе, месяцу, кварталу) можно назвать мгновенными. Для них время задержки равно нулю.

Для решения задач с временными задержками, непосредственно указанными на дугах орграфа, следует использовать усложненный алгоритм, в котором будут учитываться временные задержки. При этом расчеты будут производиться до тех пор, пока не будут реализованы все мгновенные изменения показателей. Полученные результаты должны быть зафиксированы для данного момента времени и исходя из зафиксированных значений должны быть рассчитаны изменения показателей, на которые распространяется указанная задержка времени.

• [1] Основные положения данного раздела изложены на основе работы: Чепурных II. В., Новоселов Л. Л. Экономика и экология. Развитие, катастрофы. М.: Наука, 1996.
• [2] Робертс Ф. С. Дискретные математические модели с приложениями к социальным, биологическим и экологическим задачам. М.: Наука, 1986.
• [3] Чепуриых II. В., Новоселов Л. JI. Экономика и экология. Развитие, катастрофы.