Технологический расчет аппаратов

Алгоритмизация этого этапа состоит в разработке математических моделей типовых процессов химической технологии. Необходимо не только качественное, но и количественное описание явлений, определяющих процесс. К настоящему времени известно большое количество алгоритмов расчета типовых процессов, отличающихся степенью детализации отдельных составляющих модели, но, по сути, предназначенных для решения систем уравнений материального и теплового балансов, нелинейность которых зависит от точности описания равновесия, химической кинетики, кинетики теплои массопереноса, гидродинамики потоков. Объем входной информации зависит от точности модели, однако выходная информация подавляющего большинства алгоритмов практически одинакова: профили концентраций, потоков и температур по длине (высоте) аппарата, составы конечных продуктов. Правда, соответствие результатов расчета реальным данным будет определяться тем, насколько точно в модели воспроизведены реальные условия. И все же, несмотря на обилие алгоритмов, нельзя сказать, что проблема разработки моделей (и соответственно расчета) решена — по мере углубления знаний об объекте модели непрерывно совершенствуются. Тем более что до сих пор в определенном классе процессов отсутствуют алгоритмы, обеспечивающие получение решения в любой постановке задачи и обладающие абсолютной сходимостью. Надо учесть также и то, что задача в проектной постановке часто решается как задача оптимизации с использованием алгоритмов в проверочной постановке.

В связи с отсутствием «универсальных» алгоритмов расчета типовых процессов усилия многих исследователей направлены на создание таковых. Здесь можно выделить несколько основных направлений, а именно: совершенствование наиболее хорошо зарекомендовавших себя в практике расчетов алгоритмов; создание новых алгоритмов на основе объединения положительных качеств уже известных алгоритмов; разработку алгоритмов на основе принципиально новых концепций; разработку и совершенствование алгоритмов приближенного расчета, для которых проблемы сходимости и устойчивости обычно не стоят, но вопросы повышения точности остаются доминирующими.

Как уже отмечалось, технологическая схема представляет собой организованную совокупность аппаратов, выполняющих функции смешения (емкости), изменения энтальпии (тепловые аппараты), изменения давления (компрессоры, насосы, дроссели), химического превращения (реакторы) и деления (делители потоков, аппараты выделения отдельных чистых веществ или фракций).

Основная трудность расчета массообменных аппаратов заключается в обеспечении сходимости решения систем уравнений материального и теплового балансов. Причем эти сложности возрастают для смесей с сильно неидеальными свойствами.

Решение систем уравнений производится итерационно, исходя из некоторого начального приближения для зависимых переменных. Такой подход свойствен всем методам решения систем нелинейных уравнений. В качестве критерия окончания расчетов принимается выполнение уравнений баланса, равенство единице суммы концентраций компонентов на тарелках (с заданной точностью) в мольных долях или равенство концентраций, температур или потоков по высоте колонны (с заданной точностью) в двух последующих приближениях.

Все методы расчета можно разделить на две группы: потарелочные и матричные.

В методах первой группы расчет выполняется последовательно, начиная с куба или дефлегматора от тарелки к тарелке с последующей проверкой выполнения уравнений материального баланса, или с обоих концов колонны до тарелки питания с проверкой условий сопряжений в месте ввода питания; после очередного расчета уточняется начальное приближение и вычисление повторяется до выполнения критерия окончания расчетов.

В методах второй группы по каждому из компонентов исходной смеси записывается система уравнений и решение осуществляется матричными методами. Поскольку начальное приближение выбирается произвольно, то после выполнения очередной операции производится коррекция искомых переменных. Методы второй группы находят все более широкое применение, так как при этом проявляется меньшая склонность к накоплению ошибок округления и соответственно большая устойчивость вычислительных схем при расчете колонн с несколькими вводами питания и боковыми отборами. К тому же при расчете комплекса колонн снимается проблема задания топологии системы, так как все связи между колоннами отражены. соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений баланса.

В качестве независимых переменных Льюис и Матисон предложили количественный состав продуктов разделения, а Тиле и Геддес — температуру на каждой тарелке. Наибольшее распространение получили методы, основанные на задании температуры кипения по высоте колонны, известные под названием «методы независимого определения концентраций». Считается, что примерно 80% задач по расчету ректификационных колонн обеспечивают методы Тиле и Геддеса. Поэтому при разработке алгоритмов расчета важное внимание уделяется и разработке процедур, сокращающих время решения и ускоряющих его сходимость. Одним из таких способов, широко применяемых в практике расчетов, является 0-метод коррекции, основанный на коррекции составов, исходя из решения уравнений общего материального баланса колонны.

Матричные методы, составляющие большинство известных методов расчета массообменных аппаратов и их комплексов, можно разделить на две группы по способу линеаризации балансовых соотношений. К первой группе относятся методы, в которых линейность достигается за счет использования численных значений параметров, определяющих нелинейность с предыдущих итераций. Типичным примером является метод Тиле и Геддеса, реализованный в матричной форме. Для него характерны трехдиагональная структура матрицы системы уравнений баланса, простота хранения коэффициентов системы уравнений. Однако, являясь по скорости сходимости методом первого порядка, он в ряде случаев обладает слишком медленной скоростью сходимости или вообще не обеспечивает решения. Другим способом линеаризации является разложение функции (уравнения баланса) в ряд Тейлора до членов первого порядка. Полученная система уравнений решается методом Ньютона-Рафсона. Эти методы обладают квадратичной сходимостью, однако весьма чувствительны к начальному приближению.

Особое место занимает метод релаксации, заключающийся в том, что стационарное решение получается в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений материального баланса. Метод обладает устойчивой сходимостью независимо от сложности задачи, однако по мере приближения к решению скорость сходимости очень низкая, что является ограничением для широкого применения метода, хотя иногда он является единственно возможным для обеспечения сходимости.

Наряду с перечисленными методами развивается подход, основанный на принципе максимальной энтропии, интересный тем, что не требует при своей реализации итерационных процедур;

Распространенным способом модификации известных методов является расширение класса решаемых задач путем учета разделительной способности контактного устройства (к. п. д. тарелки), расчета колонн с боковыми отборами и рециклами и улучшения сходимости путем введения форсирующих процедур, линеаризации равновесных соотношений и т. д.

Другой путь заключается в объединении положительных качеств различных методов. Так, объединение методов линеаризации и релаксации с целью получения хорошего начального приближения позволяет решать более широкий класс задач при высокой скорости сходимости. Тогда как каждый в отдельности из этих методов либо не позволяет получить решение вообще (метод линеаризации), либо позволяет найти его лишь в результате слишком большого числа итераций (метод релаксации).

Таким образом, анализ состояния проблемы расчета ректификационных колонн показывает, что при разработке подсистемы нецелесообразно ориентироваться на использование одного алгоритма, а удобнее и надежнее для решения отдельных классов задач использовать специализированные алгоритмы — от упрощенных и до самых точных. Выполнение точных расчетов не всегда возможно из-за отсутствия необходимых исходных данных. Применение же точной модели, как правило, громоздкой и сложной, для упрощенных расчетов не оправдано, так как такая модель требует больших объемов памяти и не обладает гибкостью. К тому же следует учитывать и специфику задач — наличие химической реакции, расслаивание жидкой фазы и т. п.

Алгоритмы для этих задач также будут обладать своей спецификой. Так, например, при расчете процесса ректификации в зависимости от постановки задачи могут накладываться соответствующие ограничения. В частности, при проверочном расчете обычно задаются конструктивные и технологические параметры (диаметр колонны, тип тарелок, их число, флегмовое число, характеристики теплои хладагентов и т. д.), в то время как при проектном расчете последние необходимо рассчитывать. Таким образом, расчет является задачей оптимизации с ограничениями, причем часть из них связана с требованиями на качество продукта и обеспечением максимальной эффективности разделения, а другая направлена на обеспечение экономичности процесса разделения. Несмотря на возможность такого деления, ограничения взаимосвязаны между собой. Например, максимальная разделительная способность может быть обеспечена в результате отыскания оптимального технологического режима работы, а также подбором высокоэффективного аппарата.

Если для действующей установки задача состоит в поиске оптимальных условий ведения процесса (флегмовое число, тарелка ввода питания и т. д.) при заданных конструктивных параметрах и требованиях на качество товарного продукта, то при проектировании новых установок — как в обеспечении заданных условий разделения, так и в выборе оборудования. Поскольку заданными являются состав исходного сырья и требования на качество товарного продукта, число переменных, по которым необходимо производить оптимизацию, значительно больше.

Таким образом, основой проверочных и проектных расчетов для процесса разделения являются математические модели ее отдельных элементов: собственно колонны, кипятильника, дефлегматора, подогревателя декантаторов и т. д. Среди процессов выделения целевых продуктов (абсорбция, экстракция, ректификация, хемосорбция, азеотропно-экстрактивная ректификация и т. п.) ректификация является наиболее сложным и общим по постановке задачи расчета процессом, поскольку наряду с массообменом необходимо учитывать тепловые эффекты. Ниже приведено математическое описание процесса ректификации, поскольку модели абсорбции и экстракции являются частными случаями последней, за исключением фазового равновесия.

Математическая модель ректификации включает балансовые соотношения, парожидкостное равновесие, кинетику массопередачи, гидродинамику потоков.

Основу модели составляет алгоритм материального и теплового балансов колонны. При этом парожидкостное равновесие, кинетика массопередачи и гидродинамика потоков представляют собой самостоятельные сложные задачи. Использование различных методов описания фазового равновесия, кинетики и гидродинамики приводит к изменению отдельных коэффициентов или зависимостей в балансовых соотношениях. Однако не изменяет общего алгоритма решения балансовых соотношений. Условия сходимости могут измениться, если вообще не нарушиться. Многообразные методы решения уравнений баланса свидетельствуют о трудностях разработки универсальных алгоритмов, которые гарантировали бы сходимость при различных способах описания отдельных явлений.

Для ректификационной колонны с произвольным числом вводов питания и боковых отборов, имеющей N тарелок и снабженной кипятильником и дефлегматором, можно записать следующую систему уравнений.

1. Уравнение общего материального баланса.

где Fj, D, W — потоки питания, дистиллята, кубового остатка соответственно; sL — жидкостной поток бокового отбора; sF — паровой поток бокового отбора; индексы р, т, к — количества потоков sL, и sV, соответственно.

2. Уравнение материального баланса тарелки питания (рис.

2.1).

Рис. 2.J. Схема потоков на тарелке питания.

Рис. 2.2. Схема потоков для куба колонны Рис. 2.3. Схема потоков для дефлегматора колонны.

3. Уравнение покомпонентного материального баланса тарелки.

где х, у — составы жидкости и пара соответственно.

4. Уравнение теплового баланса колонны.

где Я — энтальпия пара; h — энтальпия жидкости; Qw, Qq — тепловые нагрузки на кипятильник, дефлегматор соответственно.

5. Уравнение теплового баланса тарелки.

6. Уравнения покомпонентных материальных балансов для куба (рис. 2.2) и дефлегматора (рис. 2.3) соответственно можно записать в виде:

7. Уравнения тепловых балансов для куба и дефлегматора имеют вид:

8. Уравнения для расчета энтальпии жидкости и пара:

теплота

9. Уравнение для расчета температуры конденсации пара (точки росы):

где Л" - константа аппроксимирующего полинома.

10. Концентрации компонентов в паровой и жидкой фазах на каждой тарелке связаны соотношением

и стехиометрическим соотношением

И. Если принять, что степень достижения равновесия характеризуется к. п. д. Мерфри, то для состава пара, покидающего тарелку, можно записать.

где Iк. п. д. /-Й тарелки у-го компонента.

12. Для полного описания колонны необходимо записать уравнение, связывающее концентрации пара и жидкости: для дефлегматора

где го — эффективность конденсатора (для полного конденсатора r_D = 0, для парциального rQ = 1),.

где гуу — эффективность испарителя (для полного испарителя тщ/ = 0, для парциального rw = 1); индексы: вх, W — входная, в кипятильнике, * - равновесная.

где A^L) ctP ~ теплоемкости жидкости и пара соответственно; г*.

V * V

испарения в /-й точке для у-го компонента.

для куба колонны

или

Приведенная выше система уравнений является полным описанием колонны, однако не все уравнения используются одновременно в различных методах, поскольку это зависит как от метода, так и от постановки задачи.