Параметры диссипации и их приведение

Графики восстанавливающих сил, приведенные на рис. 2.4, а, носят идеализированный характер, так как при их построении деформируемые элементы принимались идеально упругими, т. е. лишенными диссипативных свойств. Если же учесть силы неупругого сопротивления, направление которых противоположно скорости деформации, то соответствующий график будет иметь две ветви, причем верхняя 1 будет соответствовать нагружению, а нижняя 2 — разгрузке (рис. 2.6). Площадь фигуры, ограниченной ветвью 1 и осью абсцисс, соответствует работе, затраченной при деформации, а площадь фигуры, ограниченной сверху ветвью 2_} — работе, совершаемой упругим элементом при разгрузке. При этом выделенная площадь, контур которой называют петлей гистерезиса, пропорциональна работе, затраченной за один цикл на преодоление неупругого сопротивления. Отношение этой рассеянной энергии к работе, затраченной при деформации, называется коэффициентом рассеяния и обозначается |/. Величина и характер зависимости этого параметра от различных факторов в первую очередь определяется самой природой диссипативных сил, которые могут вызываться различными причинами.

В механизмах силы сопротивления чаще всего представляют собой силы трения, возникающие в кинематических парах и неподвижных соединениях деталей. В последнем случае речь идет о так называемом конструкционном демпфировании, возникающем при колебаниях на площадках контакта деталей, например в стыке, в резьбе и т. п. Иногда природа сил сопротивления связана с видом демпфирующего устройства, специально предназначенного для увеличения диссипативных свойств системы. Такие устройства могут быть фрикционными, гидравлическими, пневматическими.

Помимо перечисленных разновидностей сил сопротивления следует также отметить силы внутреннего трения в материале, которые возникают при деформации упругих элементов. В динамике механизмов эти силы играют сравнительно малую роль для металлических деталей, однако для деталей, изготовленных из пластмасс, резины и других неметаллических материалов, силы внутреннего трения могут оказаться соизмеримыми с другими силами сопротивления.

Большое число диссипативных факторов, сложность и многообразие процессов, сопровождающих колебательные явления, приводят к тому, что при решении инженерных задач приходится прибегать к параметрам, полученным экспериментально. В одних случаях в результате эксперимента выявляются коэффициенты рассеяния отдельных элементов конструкции или сочленений, в других — некоторые приведенные значения, свойственные целому механизму, узлу и т. д. Параметры диссипации обычно определяются при моногармонических (т. е. одночастотных) колебаниях в режиме затухающих свободных колебаний либо в резонансном режиме при вынужденных колебаниях. В первом случае мы имеем затухающий процесс (см. рис. 1.2, г), для которого коэффициент рассеяния может быть определен как.

где Д и Л₂ — два последовательных значения амплитуды, разделенных одним периодом (см. подробнее в параграфе 4.2).

Логарифмическим декрементом называют А,=1п (Д/Д)" при этом |/ = 1 — exp (-2Х). При малых значениях X имеем vj/ = 2Х.

В самом общем случае параметры vj/ и X не являются константами, а могут зависеть от амплитуды и частоты колебаний. Однако анализ многих экспериментальных материалов свидетельствует о том, что в задачах динамики механизмов зависимость параметров диссипации от частоты практически не проявляется или проявляется весьма слабо. Строго говоря, параметры |/ и X нс зависят от амплитуды только в том случае, если рассеянная энергия пропорциональна квадрату амплитуды, что имеет место, например, при линейной силе сопротивления или силе сопротивления, пропорциональной первой степени амплитуды. В более сложных случаях можно усреднять коэффициенты ц/ или X в пределах одного или нескольких периодов колебаний. При этом путем эксперимента могут быть получены функции |/ (А) или X (А).

При динамическом расчете коэффициенты диссипации позволяют установить некоторый энергетический эквивалент, учитывающий силы сопротивления в системе дифференциальных уравнений. Здесь мы лишь укажем, что наиболее эффективный подход к учету диссипативных сил в инженерных задачах связан с так называемой эквивалентной линеаризацией, при которой нелинейная сила сопротивления заменяется условно линейной при сохранении той же величины рассеянной за один цикл энергии. При таком подходе линеаризованная сила сопротивления может быть представлена как R = -Ьх, где b — коэффициент пропорциональности (подробнее см. в гл. 9).

Определим приведенные значения коэффициента рассеяния |/_пр при параллельном соединении упругодиссипативных элементов (см. рис. 2.5, а). Для перехода к схеме, показанной па рис. 2.5, б, достаточно записать условие баланса рассеянной энергии

где |/, V, — коэффициенты рассеяния и максимальная потенциальная энергия рассматриваемого элемента i.

Принимая во внимание, что V = 0,5сх²; V= с х², а также то,.

' (I Г I I.

что при параллельном соединении |jr₁| = … = |.r"| = |.r|, на основании условия (2.10) получаем.

Аналогичным образом может быть получена зависимость для |/ _ф при последовательном соединении упругодиссипативных элементов:

При параллельном соединении величина |/ ₍₎ обычно близка к значениям |/., соответствующим наиболее жестким элементам, а при последовательном соединении — наиболее податливым.

Анализ данных, полученных для многих механизмов текстильных, полиграфических машин, станков, машин легкой и ряда других отраслей промышленности, свидетельствует о том, что приведенный коэффициент рассеяния обычно укладывается в диапазон значений 0,3 < У_|ф < 0,7. Эти результаты в качестве ориентировочных могут быть использованы и в тех случаях, когда при предварительных расчетах отсутствует возможность получения конкретной информации.

В заключение укажем, что отображение диссипативных свойств механических систем затрагивает целый ряд еще неразрешенных проблем, привлекающих внимание многих исследователей.

Пример. Составим простейшую модель кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.7, а), в которой учтем осевую податливость шатуна. Произведем приближенную замену массы шатуна т₂ двумя массами т_А2 и т_т в точках, А и В с последующим включением этих масс в инерционные характеристики кривошипа 1 и ползуна 3. Для этого можно воспользоваться известным из курса теории механизмов и машин так называемым статическим замещением масс, при котором суммарная масса.

Рис. 2.7.

звена и положение его центра масс остаются неизменными, однако момент инерции несколько искажается (m _v, = m₂BS/AB т_В2 = m^ASJAB', S₂ — центр масс звена 2).

Теперь модель механизма представим в виде кривошипа с безынерционным шатуном 2'и ползуномJT (кинематический аналог «идеального» механизма) с присоединенным блоком с_х, |/_v, т (рис. 2.7, 6), учитывающим приведенные значения упругих, диссипативных и инерционных параметров системы. На рис. 2.7, в показано более лаконичное изображение полученной таким образом динамической модели, в которой элемент П в данном случае отвечает преобразованию угла поворота входного звена ф в перемещение звена 3 ', т. е. х_в. = П (ф).

Для определения приведенных значений с_х и j/_r представим текущую координату ползуна как функцию двух переменных х_в = х_я(ф, 1), где ф — угол поворота входного звена; L — длина шатуна, которая складывается из постоянной составляющей L, отвечающей недеформируемому шатуну и деформации AL. Далее разложим х_в в ряд Тейлора по степеням AL, в котором ограничимся учетом первых двух членов:

Здесь звездочка соответствует AL = 0.

Очевидно, что х_в отвечает идеальной функции положения, т. е. аналогу «идеального» механизма, образованного звеньями 1,2', 3', (см. рис. 2.7, б), а упругий элемент формирует динамическую ошибку Ах_в = (дх_в /д1)Л1, возникающую из-за деформации шатуна AL.

Снова воспользуемся условием баланса потенциальной энергии 0,5сА1² = 0,5с_хЛх²_в- Отсюда следует.

На основании теоремы косинусов имеем.

Дифференцируя это соотношение по х_в, получаем

Отсюда следует.

где у₊ имеет смысл угла давления.

Поскольку у, = у_ж(ср), коэффициент жесткости с_х, строго говоря, оказывается переменным, однако при малых значениях у_х имеем с_х = с.

Условие баланса рассеянной энергии до и после приведения имеет вид 0,5|/cAZ? = 0,5|f _vc, ArJ • При учете условия (2.11).

Заметим, что аналогичным образом практически в любом механизме могут быть выделены некоторые «опорные» звенья, которые посредством кинематической пары связаны со стойкой и движутся поступательно или совершают угловые перемещения вокруг неподвижной оси. Именно такие звенья, как правило, обладают наибольшими массами и моментами инерции. При этом характеристики промежуточных звеньев обычно без ощутимой потери в точности могут быть приведены к таким опорным звеньям, как это сделано в нашем примере. При подобном принципе построения моделей удастся добиться того, что положение каждого инерционного элемента характеризуется одной координатой.