Расчет прямой наименьших квадратов и среднеквадратической приведенной погрешности от нелинейности статической характеристики измерительного устройства

Оценку нелинейности статической характеристики ИУ в форме МППН рекомендуется применять в тех случаях, когда погрешность приближения (4.31) ни в одной точке диапазона измерений не должна превышать допустимого значения. Часто это требование можно заменить менее жестким требованием — погрешность (4.31) может оказаться «большой», но это должно происходить «редко». В этом случае принимается во внимание тот факт, что измеряемая физическая величина х, будучи случайной, с разной вероятностью попадает в разные части диапазона измеренийх_н <�х<�х_в. Эта вероятность пропорциональна значениям функции плотности распределения вероятностей измеряемой величины р_х = р_х(х) (ПРВ), характеризующей статистические свойства измеряемой величины. Поэтому отклонения статической характеристики ИУ от аппроксимирующей прямой должны быть малыми в той части диапазона измерений, где значения ПРВ близки к максимуму и могут быть большими там, где эти значения незначительные. В результате малые значения погрешности приближения оказываются более вероятными (см. рис. 4.8, б). Таким свойством обладает ПНК.

Прямой наименьших квадратов (по отношению к кривой у = /(х)) называется прямая г/_а = А + Вх, среднеквадратическое отклонение которой от кривой у = f (x) на отрезке х_н < х < х_и является минимальным.

Параметры ПНК определяются из условия минимума математического ожидания квадрата погрешности приближения (4.31), т. е. из условия.

Приравнивая нулю производные этой функции, но А и В и решая полученную систему уравнений, можно получить следующие формулы:

где /₁,/₂, m₁, w₂, щ — определенные интегралы, зависящие от формы ПРВ р_х = р_х(х) и формы статической характеристики ИУ у = /(х);

Соответствующее минимальное значение функции D (A, В) равно.

где Если все значения измеряемой величины находятся внутри интервала х_н <�х< х_в, то в этих формулах нужно принять /гг₃ = 1.

При выборе уравнения ПИК руководствуются теми же правилами, что и при выборе уравнения НИМ (см. рис. 4.10), т. е. это уравнение может быть «полным» — г/_а = А + Вх, или «усеченным» — у._л = Вх. В первом случае расчет параметров ПИК выполняется по формулам (4.34). Если г/_а = Вх, то коэффициент наклона ПИК Б и значение D_min вычисляются по другим формулам:

В этом случае расчет дает завышенное значение погрешности.

Если параметры ПИК вычисляются по формулам (4.34), то математическое ожидание погрешности приближения (4.31) равно нулю, т. е.

Поэтому интеграл (4.33) совпадает с дисперсией погрешности приближения.

Чем меньше а_/?, тем меньше нелинейность статической характеристики ИУ. Покажем пример такого расчета.

Степень близости ПН К к статической характеристике И У оценивается по величине среднеквадратической приведенной погрешности от нелинейности (СПИН).

Пример 4.5

Определить ПНК и СППН для статической характеристики ИУ, показанной на рис. 4.8, в.

Решение

Кривая у = /(х), показанная на рис. 4.8, в_} задана на интервале |.г| <10 (г.е. х_и = -10, лг_в = 10) и имеет уравнение /(.r) = l + 2x-4sin (0,3x + 2), а плотность распределения вероятностей — уравнение.

где а = ^ — постоянный коэффициент, обеспечивающий выполнение условия нормировки ПРВ (7.73).

По формулам (4.34) и (4.35) для этого случая находим А = -1,925, В = 2,807. Соответствующее минимальное значение дисперсии погрешности приближения (4.36) равно D_min =0,682, а значение СПИН (4.40) равно а" = 1,471%.

Рис. 4.12. К расчету среднеквадратической приведенной погрешности от нелинейности статической характеристики ИУ:

а — распределение погрешности по диапазону измерений; б — карта линий уровней функции Л (/1, В)

На рис. 4.12, а сплошной кривой Д_и(.г) показано распределение погрешности приближения по диапазону измерений. Штрихпупктирная кривая р_х(х) показывает распределения вероятностей значений измеряемой величины х (график ПРВ). Видно, что в правой части диапазона измерений, где значения ПРВ велики, погрешность приближения снижена. На рис. 4.12, б показана карта линий уровней функции D (A, В). Видно наличие точки минимума. Параметры А, В — координаты этой точки.