ΠΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ²
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡΡΡΠ΅ (2.62) ΠΠΠ€ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ, Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡΡΡΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° (2.61) — ΠΠΠ€ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°. ΠΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌ. ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΡ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² — ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
Π ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠΎΠ², ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡ ΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΈ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π°ΠΌΠΈ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². Π§Π°ΡΡΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ Π°Ρ . ΠΠ»Ρ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±Π½Π°ΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ. ΠΠ° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΡΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΡΡΠΈΠΊΠΈ, Π΄Π°ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Π±Π΅Π· ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅.
ΠΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° u (t — Ρ) ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ²ΠΎΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Π° u (t) Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ. ΠΠ»Ρ ΠΊΠΎΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΊΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΡ (ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ) ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° u (t) ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ u (t — Ρ) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π°Π²ΡΠΎΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (ΠΠΠ€). ΠΠΠ€ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠ΅ΠΉ — ΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ€, ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ²ΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½Π΅Π΅.
ΠΠ»Ρ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (ΡΠΈΠ½ΠΈΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°) Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ ΠΠΠ€ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» Π²ΠΈΠ΄Π°.
Π€ΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (2.56) ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° (Ρ = 0) ΠΠΠ€ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π° ΠΈ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°:
Π’Π°ΠΊΠ°Ρ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ [ΠΠΆ] Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ΅Π·ΠΈΡΡΠΎΡΠ΅ Ρ ΡΠΎΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² 1 ΠΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ u (t) [Π].
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΠΠ€ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ: Π (Ρ) = Π (-Ρ). ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ (2.56) ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ = t — Ρ, ΡΠΎ.
ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π» (2.56) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ Π² Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:
ΠΠ»Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Ρ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π, ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠ° (ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ), Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ€ ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (2.56) Π½Π΅ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ ΠΠΠ€ Π·Π° ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄:
|.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2.3.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΠΠ€ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Ρ Π ΠΈ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠΈ (ΡΠΈΡ. 2.24).
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΠ»Ρ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΠΠ€ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΡΠΈΡ. 2.24, Π° — Π³, Π³Π΄Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ u (t) = ut ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΠ°Ρ Π½Π° Ρ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ ΠΌΡ(?) = u (t — Ρ) = ΠΌΡ ΠΈ ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ u (f)u (t — Ρ) = ΠΈΠΈΠ³ Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π»Π° (2.56). ΠΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ u (t)u (t — Ρ) Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ Π½Π° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ Π½Π° Π΄ΡΡΠ³Π° Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ. ΠΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠ· ΡΠΈΡ. 2.24, ΡΡΠΎΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» ΡΠ°Π²Π΅Π½ Ρ — ΡΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ°. Π ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° ΠΠΠ€ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π (Ρ) = Π2(ΡΠΈ — |Ρ|) ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π΅ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ Π½Π° ΡΠ΅ΠΊΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΡ |Ρ| < ΡΠ½. ΠΠΠ€ ΠΏΡΡΠΌΠΎΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π²ΠΈΠ΄ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ Π΄Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ° ΠΈ Π²ΡΡΠΎΡΠΎΠΉ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠ΅ΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Π (0) = = Π2ΡΠΈ = Π (ΡΠΌ. ΡΠΈΡ. 2.24, Π³).
Π ΠΈΡ. 2.24. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ€ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ°:
Π° — ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡ; 6 — ΠΊΠΎΠΏΠΈΡ; Π² — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΈ; Π³ — ΠΠΠ€ Π§Π°ΡΡΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΡΡ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡΠΉ Π΄Π»Ρ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ — ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΡΠΊ, Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΡΠΉ ΡΠΈΡΠΈΠ½Π΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΠΠ€. ΠΠ»Ρ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΡΠΊ = 2ΡΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2.4.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΠΠ€ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ (ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ) ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° u (t) = = t/mcos (co? + <οΏ½Ρ0) Ρ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΠΎΠΉ (ΡΠΈΡ. 2.25, Π°).
Π ΠΈΡ. 2.25. ΠΠΈΠ°Π³ΡΠ°ΠΌΠΌΡ ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ 2.4:
Π° — Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»; 6 — ΠΠΠ€ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (2.57) ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠ² ΠΠΏ(Ρ) = Π (Ρ), Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.
ΠΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΠΠ€ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΡΠΎΠΆΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ (ΡΠΈΡ. 2.25,6) ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ (Π2). ΠΡΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ°ΠΊΡ, ΡΡΠΎ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΠΠ€ Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°Π·Ρ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° (ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡ <οΏ½Ρ Π² ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ).
ΠΠ· ΠΏΡΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ Π²Π°ΠΆΠ½ΡΠΉ Π²ΡΠ²ΠΎΠ΄: ΠΠΠ€ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Ρ, Π°ΠΌΠΏΠ»ΠΈΡΡΠ΄Π½ΡΠ΅ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, Π° ΡΠ°Π·ΠΎΠ²ΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ, Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΡΡ ΠΠΠ€. ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎ ΠΠΠ€ Π½Π΅Π»ΡΠ·Ρ Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» (ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΆΠ΅ Π²ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΠ²ΠΈΠ΅ ΡΡΡΠ°ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΎ ΡΠ°Π·Π΅).
Π‘Π²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΠΠ€ ΠΈ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠΌ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°. ΠΡΡΡΡ ΠΈΠΌΠΏΡΠ»ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π» u (t) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡ 5(ΡΠΎ). ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΠΠ€, Π½ΠΎ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π΅ (2.56), Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π² ΠΈ (Π‘) Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π€ΡΡΡΠ΅ (2.30):
ΠΠ²Π΅Π΄Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ x = t — Ρ, ΠΈΠ· ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½Π΅ΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅Π³ΡΠ°Π».
Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎ-ΡΠΎΠΏΡΡΠΆΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°.
S (cΠΎ).
Π‘ ΡΡΠ΅ΡΠΎΠΌ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (2.59) ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° (2.58) ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.
Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠΎΠΌ (ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ) ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΎΡΠ΅. Π Π°Π·ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π΅ IP/ΡΠΎ) — [(Π2-Ρ)/ΠΡ].
Π£ΡΠΈΡΡΠ²Π°Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (2.60), ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»Ρ ΠΠΠ€:
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΠΠ€ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΎΡ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ°. ΠΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡΡΡΠ΅ ΠΎΡ ΠΠΠ€.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡΡΡΠ΅ (2.62) ΠΠΠ€ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ, Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π€ΡΡΡΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΠ° (2.61) — ΠΠΠ€ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°. ΠΡΠΈ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌ. ΠΠΎ-ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ , ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· ΡΠ°ΡΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ, Π½ΠΎ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡΡ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠ΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²Π° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² — ΡΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ΅ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°, ΡΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ. Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΡΠ΅ΠΌ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» ΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°, ΡΠ΅ΠΌ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ. ΠΠΎ-Π²ΡΠΎΡΡΡ , ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ (2.61) ΠΈ (2.62) ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡΡ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ. Π§Π°ΡΡΠΎ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ Π²Π½Π°ΡΠ°Π»Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΠΠ€, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π€ΡΡΡΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΡΠ½Π΅ΡΠ³Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΏΠ΅ΠΊΡΡ. ΠΡΠΎΡ ΠΏΡΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π΅ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² Π² ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π΅ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, Ρ. Π΅. Π±Π΅Π· Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π΅ΡΠΆΠΊΠΈ ΠΏΡΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π±ΠΎΡΠΊΠ΅.
ΠΠ·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ². ΠΡΠ»ΠΈ Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π°ΠΌΠΈ ux(t) ΠΈ u2(t), ΡΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠΎΠΊΠΎΡΡΠ΅Π»ΡΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ (ΠΠΠ€).
ΠΡΠΈ Ρ = Π ΠΠΠ€ ΡΠ°Π²Π½Π° ΡΠ°ΠΊ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ½Π΅ΡΠ³ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ²
ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΠΠ€ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΠ΅ΡΡΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π·Π°Π΄Π΅ΡΠΆΠΊΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Π° u2(t) ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠΌ ΠΌ,(?), ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ.
ΠΠΠ€ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΠΠΠ€, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ, Ρ. Π΅. uy(t) = u2(t) = u (t). Π ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΠΠ€ ΠΠΠ€ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ² Π12(Ρ) Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½Π° ΠΏΡΠΈ Ρ = 0, Ρ. Π΅. ΠΏΡΠΈ ΠΎΡΡΡΡΡΡΠ²ΠΈΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° ΡΠΈΠ³Π½Π°Π»ΠΎΠ².