Задача с подвижными концами. 
Основная формула для вариации функционала

Исследуя на экстремум функционал.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 1.34. К постановке задачи

мы предполагали, что положение граничных точек (лг₍₎, у₀) и (х_р у,) задано. Если же предположить, что одна из них или та и другая граничные точки могут изменять свое положение, перемещаясь, то множество допустимых кривых сравнения расширяется (рис. 1.34).

Таким образом, в качестве кривых сравнения можно брать не только кривые с общими граничными точками, но и кривые, граничные точки которых могут перемещаться.

Найдем выражение для вариации функционала в этом более общем случае. Для простоты предположим, что левый конец экстремальной кривой закреплен, а правый свободный. Запишем приращение функционала:

Вариация функционала есть главная часть приращения функционала (т. е. линейная часть относительно Sу и 6/) точно так же как дифференциал функции есть главная часть приращения функции.

Итак, найдем главную часть приращения функционала, т. е. вариацию. По теореме о среднем значении имеем.

где 0 < 0 < 1. Последнее выражение можно представить в виде

причем г, -> 0, когда бл', и бу, —> О, т. е. г, бл', есть величина 2-го порядка малости.

Разложим в ряд Тейлора первое слагаемое второго подынтегрального выражения при 6j> = 0 и 8у' = 0:

где /?, величина 2-го порядка малости.

Тогда второе подынтегральное выражение будет иметь вид.

*i.

где R = J R_xdx — величина 2-го порядка малости по отношению к инте;

*0.

гралу Я F_y3y + /убу]</х.

*0.

Интегрируя по частям второе слагаемое, получим.

Так как граничная точка (*₀, >>₀) закреплена, то б=0. Следовательно,.

Отбрасывая величины более высокого порядка малости, найдем следующее значение вариации функционала:

Рис. 1.35. К выводу формулы для вариации функционала

Найдем выражение для. Из чертежа (рис. 1.35) имеем

Таким образом, т. е.

Вариацию теперь можно записать в виде.

Если оба конца варьируемой кривой свободны, то вариация функционала будет равна (теперь 6y_/r=Vn -t 0 и &с₀ ф 0)