Частотные характеристики линейных электрических цепей

Для исследования частотных характеристик электрической цепи выделяют пары входных и выходных зажимов, приводя схему к пассивному четырехполюснику. При наличии индуктивностей и емкостей параметры четырехполюсника зависят от частоты входного синусоидального воздействия. В качестве характеристики четырехполюсника в частотной области принимают комплексную передаточную функцию, представляющую собой отношение комплексного изображения выходного напряжения U (jca) или тока /(/со) к входному напряжению V (jiо) или току/(/со) при заданной нагрузке Z_H. Комплексная передаточная функция (коэффициент передачи) показывает, как изменяются амплитудное (или действующее) значение и начальная фаза сигнала при его передаче от входа к выходу четырехполюсника.

В зависимости от вида входной и выходной величин различают:

• • коэффициент передачи напряжения: K_u(ja>) = U (j (o)/V (ja>);
• • коэффициент передачи тока К/(усо) = I (j (o)/J (ja>',
• • передаточное сопротивление Z (Ja> = U (j (o)/J (ja>);
• • передаточную проводимость Y (ju>) = I (j (o)/V (J (o).

Комплексную передаточную функцию принято представлять в виде

где Я (со) представляют собой вещественные функции частоты со.

Зависимость от частоты модуля комплексного коэффициента передачи называют амплитудной частотной характеристикой (АЧХ) четырехполюсника. Амплитудно-частотная характеристика, например, коэффициента передачи напряжения К_и(со) = U (($)/V ((о) показывает, как изменяется значение напряжения при передаче с входа на выход четырехполюсника.

Зависимость от частоты аргумента комплексной передаточной функции называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) четырехполюсника. Фазочастотная характеристика показывает изменение фазового сдвига сигнала при передаче его четырехполюсником: 0(со) = |/2 «ЧФ Применяется также коэффициент передачи активной мощности от источника к приемнику ///>(со) = Р_шх(<�а)/Р_кх(ы), который при известном значении нагрузки можно выразить через К_и(<*о).

Рассмотрим частотные характеристики /?С-цепи (рис. 3.10, а).

Формирование уравнений четырехполюсника в комплексной форме и их решение дают следующее выражение для коэффициента передачи напряжения:

(для удобства записи соотношений введен множитель т = RC, имеющий размерность времени).

Выделив модуль и аргумент полученного коэффициента передачи.

Рис. 3.10. Схема jRC-цепи (а), амплитудная и фазовая характеристики (б), частотный годограф (в).

по формулам можно построить АЧХ и ФЧХ (рис. 3.10, 6).

При фиксированном значении частоты коэффициент передачи на комплексной плоскости отображает вектор (рис. 3.10, в). При изменении частоты концы векторов К_и(т) на комплексной плоскости дают кривую, которую называют частотным годографом.

В некоторых приложениях комплексный коэффициент передачи H (Jco) удобно представить в виде суммы ортогональных составляющих

называемых соответственно вещественной и мнимой частотными характеристиками.

Наибольшее распространение при описании цепей получила АЧХ вследствие возможности ее экспериментального получения с помощью вольтметра, измеряющего действующие значения входного и выходного напряжений. Вид частотных характеристик определяется типом элементов и их соединением. Например, добавление в ЛС-цепь индуктивности L приводит к резонансному контуру (рис. 3.11, а).

Рис. 3.11. Резонансный контур (а) и характеристики напряжения (б),.

тока (в) Комплексный коэффициент передачи напряжения приводит к выражению для амплитудно-частотной характеристики.

зависящей от добротности Q = щЬ/R и резонансной частоты coq = = 1/VZc (рис. 3.11, б).

Влияние параметров элементов на вид частотных характеристик удобно проанализировать с помощью построения зависимостей от частоты действующего значения тока или пропорционального ему напряжения на резисторе R. В этом случае АЧХ описывается соотношением

Это выражение задает резонансную кривую, вид которой существенно зависит от добротности (рис. 3.11, в). Рассматриваемая электрическая цепь обладает частотной избирательностью или фильтрующими свойствами, которые можно оценить на определенном уровне передачи сигнала. В некоторых приложениях считают допустимым уменьшение вдвое активной мощности передаваемого сигнала. При согласованной нагрузке этому соответствуют значения коэффициента передачи напряжений K_uR(со) < 1/V2 = = 0,707, занимающие диапазон частот coj < со < со₂, который называют полосой пропускания преобразователя.

Для количественного сопоставления свойств преобразователей в широкой полосе частот при большом диапазоне значений частотные характеристики строят с использованием логарифмических масштабов. Логарифмическому коэффициенту передачи активной мощности четырехполюсника, определяемому как L_P = lg (P₂/^i)> присвоена размерность «бел». Значению передачи в 1 бел соответствует десятикратное уменьшение уровня передаваемой мощности (Р'2/Р[ ⁼ 10). На практике обычно используют более мелкую единицу (децибел), равную десятой части бела (1 дБ = 0,1 Б).

При заданной согласованной нагрузке R_u = R_liX входную и выходную мощности можно выразить через напряжения и записать логарифмический коэффициент передачи напряжения четырехполюсника

Зависимость логарифмического коэффициента передачи от частоты называют логарифмической амплитудно-частотной характеристикой (ЛАЧХ):

Нулевой уровень ЛАЧХ (1_дБ = 0) будет при равенстве входного и выходного напряжений (К= U₂/ U — 1). При ослаблении мощности вдвое (Р₂/ Р = V2), которому соответствует отношение напряжений U₂/U = 1/V2 = 0,707, в логарифмическом масштабе получаем значение L _дБ = -3 дБ. Уменьшение выходного напряжения в 2 раза соответствует значению 1_дБ = -6 дБ, а затухание в 10 раз имеет место при 1_дБ = -20 дБ. При построении графиков по оси абсцисс откладывают lg (co/co_H), т. е. логарифм отношения текущей частоты к выбранному значению начальной частоты, однако принято наносить абсолютные значения текущей частоты. Диапазон изменения частоты выбирают кратным 10 с учетом особенностей схемы.

Применим введенные понятия для построения частотных характеристик приведенных четырехполюсников. Так, для ЙС-цеии с параметрами элементов С = 10 мкФ и R = 500 Ом характерным параметром служит частота среза ац = 1/т = 200 с ^!. Приняв начальное значение частоты со, = 10 с^-1 и частотный диапазон в пределах двух декад (со_п = 10²со"), в результате вычислений получим: Цсо") = -0,1 дБ, Цац) = -3 дБ, 1(со") = -14 дБ (рис. 3.12, а).

На практике для сопоставления частотных свойств различных преобразователей пользуются асимптотическим приближением ЛАЧХ, базирующимся на кусочно-линейной аппроксимации характеристики с типичными наклонами отрезков прямых линий. Для достаточно простых преобразователей такую аппроксимацию можно выполнить на этапе построения ЛАЧХ.

Так, для рассматриваемой RC-цепи в частотной полосе от 0 до С0| имеем со/ац < 1 и с допустимой погрешностью можно принять 1 + (со/со^)² «1. В указанной полосе частот модуль коэффициента передачи К (а>) ~ 1 и ЛАЧХ представляет собой отрезок прямой L (со) = 0, совпадающей с осью абсцисс. В полосе частот со > ац при выполнении условия со/ац > 1 можно предположить, что 1 + (а>/ац)² ~ ~ (со/со)². Тогда для модуля коэффициента передачи справедливо соотношение К (со) ~ а^ац и описание ЛАЧХ вида Цсо) = -^О^со/о)!).

Рис. 3.12. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики RC- (а) и RLC- (б) цепей производится отрезком прямой с наклоном, составляющим -20 дБ/дек., т. е. для двух точек прямой с частотами, отличающимися в 10 раз, изменение значения ЛАЧХ составляет -20 дБ, что соответствует уменьшению модуля коэффициента передачи в 10 раз.

Аналогичным способом можно аппроксимировать АЧХ контура RLC с добротностью Q, не слишком отличающейся от единицы. При со < со₀ имеем К (со) = 1 и L (со) 0, а при со > со₀ имеем К (со) «~ coq/co², что дает выражение L (со) ~ —40 lg (co/coo), описывающее прямую линию с наклоном -40 дБ/дек. При выборе параметров цепей RC и RLC, обеспечивающих выполнение условия со₀ = со_ь сопоставление характеристик показывает, что введение индуктивности гарантирует больший наклон АЧХ в области частот со > со₀, т. е. улучшение фильтрующих свойств четырехполюсника Для сложных преобразователей расчет частотных характеристик и их аппроксимация выполняются численными методами.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Сформулируйте основы и приведите порядок расчета электрической цени с синусоидальными источниками методом комплексных амплитуд.
• 2. Дайте определение активной мощности в цепи синусоидального тока и приведите порядок ее расчета.
• 3. На каких явлениях основан принцип действия трансформатора?
• 4. Какая система напряжений и токов называется трехфазной и что подразумевает термин «фаза»?
• 5. Что представляет собой эквивалентная схема источника периодического сигнала и какова последовательность расчета линейной электрической цепи в частотной области?
• 6. Дайте определение комплексной передаточной функции и приведите формы ее записи.
• 7. Как рассчитываются амплитудные и фазовые частотные характеристики электрических цепей?
• 8. Каким образом строится асимптотическая ЛАЧХ преобразователя?