Кручение. 
Прикладная механика

Кручение — деформация бруса, при которой поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого вокруг продольной оси бруса. При кручении в поперечных сечениях бруса методом сечений обнаруживается только один внутренний силовой фактор — крутящий момент (другое обозначение — ). Брус, работающий на кручение, называется валом.

Различают брусья: а) круглого сечения; б) некруглого сечения; в) тонкостенного сечения (открытого и замкнутого контура). Гипотеза плоских сечений справедлива только для брусьев круглого сечения. Некруглые сечения претерпевают депланацию, и расчет для них приводится методами теории упругости. Для тонкостенных брусьев, независимо от очертаний сечения, можно ввести ряд упрощений, позволяющих получить решение методами сопротивления материалов.

Крутящий момент в произвольном сечении бруса определяется методом сечения как алгебраическая сумма внешних активных и реактивных моментов, приложенных к отсеченной части:

(2.54).

где  — сосредоточенные моменты;  — интенсивность распределенного момента.

Знак не имеет физического смысла. Принято считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, находящегося со стороны внешней нормали к сечению, он направлен против часовой стрелки.

Из формулы (2.54) можно получить дифференциальную зависимость между распределенной нагрузкой и крутящим моментом :

(2.55).

Распределение крутящего момента по длине бруса изображается в виде эпюры. Выражение (2.55) используют при построении эпюр

Рассмотрим кручение бруса круглого поперечного сечения. Крутящий момент является результирующим моментом внутренних сил относительно оси Ох. Из рис. 2.20 следует, что.

(2.56).

где? — текущий радиус-вектор.

В любой точке сечения касательные напряжения направлены перпендикулярно к концентрическим окружностям, проведанным через эту точку радиусом р, и равны во всех точках, равноудаленных от центра сечения.

Для выяснения закона изменения деформации по сечению вырежем из бруса двумя поперечными сечениями элемент длиной dx, условно защемив один из его торцов (рис. 2.21). Согласно принятым допущениям поперечные сечения поворачиваются одно относительно другого как жесткие диски. В результате действия сечение повернется относительно условно закрепленного сечения на угол . Точка С переместится в положение . Угол между.

Рис. 2.20.

Рис. 2.21.

новым положением образующей и первоначальным СВ называется относительным углом сдвига или относительным сдвигом.

Из рис. 2.21 очевидно, что , но также равен , отсюда , или . Обозначим

погонный угол закручивания. Тогда.

(2.57).

Это выражение устанавливает связь между погонным углом закручивания и относительным сдвигом . Закон Гука при сдвиге записывается в виде.

(2.58).

где G — модуль сдвига.

Подставив равенство (2.57) в формулу (2.58), получим.

(2.59).

Выражение (2.59) определяет закон изменения напряжений по сечению. Поскольку в сечении , то касательные напряжения изменяются пропорционально радиусу i. Из выражения (2.59) следует, что на контуре сечения касательные напряжения принимают максимальные значения. Подставляя выражение (2.59) в формулу (2.56), получим . Поскольку ,.

то , или

где - полярный момент инерции.

Таким образом,.

(2.60).

Так как , то угол закручивания бруса.

(2.61).

Если и различны на разных участках бруса, то в общем случае полный угол закручивания бруса можно определить по формуле.

(2.62).

или.

(2.63).

где - угол закручивания на i-м участке; п — число участков.

Полный угол закручивания i-го сечения относительно неподвижного сечения можно записать в виде.

(2.64).

где - длина i-го участка; - угол закручивания -го сечения относительно неподвижного сечения; - жесткость при кручении.

Подставляя равенство (2.60) в выражение (2.59), получим формулу, определяющую касательные напряжения, действующие в нормальном сечении бруса:

Геометрической характеристикой бруса круглого сечения является полярный момент сопротивления кручения:

Максимальные значения касательных напряжений, возникающих на контуре сечения, т. е. при , можно записать в виде.

Для круглого сечения диаметром

В поперечном сечении бруса касательные напряжения в каждой точке, расположенной в непосредственной близости от боковой поверхности, всегда направлены параллельно касательной к контуру сечения (рис. 2.22).

Действительно, если касательное напряжение в точке М было бы направлено под углом к касательной, то его составляющая? n, перпендикулярная к касательной, вызвала бы парное касательное напряжение на боковой поверхности бруса, которое в действительности отсутствует. Следовательно, и ка;

Рис. 2.22.

сательное напряжение в точке, близкой к контуру, направлено по касательной к контуру.

Эпюры касательных напряжений в сечениях сплошного и полого круглых брусьев приведены на рис. 2.23, а, б. Из эпюр очевидно, что материал, находящийся в районе оси бруса, испытывает незначительные напряжения, поэтому рациональная форма — полое круглое поперечное сечение (см. рис. 2.23, б).

Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса направлены в каждой точке сечения перпендикулярно к текущему радиусу р. Из условия парности касательных напряжений следует, что точно такие же напряжения возникают и в продольном сечении бруса (рис. 2.24). Продольные волокна при кручении бруса испытывают чистый сдвиг.

Потенциальная энергия деформации при кручении определяется так же, как и при растяжении.

Элементарная энергия, накопленная в элементе бруса длиной (см. рис. 2.21), равна работе момента на угле '. При статическом нагружении . Подставляя сюда выражение , получаем . Отсюда

Для кручения не круглых брусьев гипотеза плоских сечений неприменима, так как отдельные точки сечения при деформации неодинаково смещаются вдоль оси бруса и в результате поперечные сечения депланируют. В этих случаях задачу кручения решить методами сопротивления материалов не удается.

Основные формулы для расчета различных типов сечений приведены в табл. 2.1.

Условие прочности при кручении записывается в виде.

(2.65).

или.

(2.66).

где - максимальное значение касательных напряжений; - допустимое значение касательных напряжений.

Формула (2.66) служит для поверочного расчета, т. е. для случая, где задана геометрия сечения. Из формулы (2.66) следует.

(2.67).

Таблица 2.1

Сечения.	Эпюра касательных напряжений.	Момент сопротивления при кручении W?				Момент инерции при кручении J?
Прямоугольное нетонкостенное.
		h/b		1,5.					оо.
		а	0,2.	0,2.	0,2.	0,2.	0,2.	0,3.	0,333.
			0,1.	0,2.	0,2.	0,2.	0,2.	0,3.	0,333.
		г.	1,0.	0,8.	0,8.	0,7.	0,7.	0,7.	0,74.
Тонкостенное открытого профиля постоянной толщины.
Тонкостенный брус однозамкнутого сечения.

Примечание. Здесь? и? — крутящие коэффициенты.

Формула (2.67) служит для проектировочного расчета, когда по заданным нагрузкам и допускаемому напряжению требуется определить геометрию сечения. Допускаемые напряжения в случае чистого кручения определяются следующими выражениями: для пластичных материалов ; для хрупких материалов . Здесь - предел текучести при кручении (сдвиге); ?" - предел прочности при кручении (сдвиге); и - соответствующие запасы прочности.

Для традиционных конструкционных материалов обычно принимают . Условие жесткости можно записать в виде

Для поверочного расчета . Для проектировочного расчета .

Допускаемые значения относительных углов закручивания [0] различны в разных отраслях машиностроения и зависят от назначения изделия.