УНМ на основе функциональных рядов

Линейные цепи полностью характеризуются реакцией y{t) на воздействие в виде единичной импульсной функции 5(?) при нулевых начальных условиях, что отражается формулой интеграла наложения.

где h (t) — импульсная характеристика цепи; x (t) — произвольное воздействие.

Для нелинейных цепей такую же явную зависимость выходного сигнала y (t) от входного воздействия x (t) позволяет задать функциональный ряд Вольтерра:

где h_k(x_x, т₂, …, т*) — многомерные функции, называемые ядрами Вольтерра k-ro порядка, k = 1, 2,… Эти ядра не зависят от внешних воздействий и полностью определяются свойствами самой цепи. Они обращаются в нуль, если хотя бы одна из переменных x_t,…, x_k отрицательна. Ядра являются симметричными, т. е. перемена местами любых двух переменных х_т и х_п не меняет значения ядра.

В выражении (9.9.8) y_x(t) представляет собой реакцию линейной системы на входной сигнал x (t). Аналогично составляющие y₂(t)> г/₃(?)> - можно рассматривать как реакции нелинейной цепи с квадратичной, кубической и тому подобными характеристиками. Схемное представление модели приведено на рис. 9.9.3.

Рис. 9.93. Универсальная нелинейная модель на основе функциональных рядов.

Применив многомерное преобразование Лапласа, можно получить ряд Вольтерра в области изображений:

где H (s_{, S’j, s_k) — изображение ядра k-ro порядка.

Универсальную модель в виде ряда Вольтерра можно сформировать либо для каждого парциального двухполюсного и многополюсного нелинейного элемента с последующим подсоединением к линейной части модели, либо для всей нелинейной системы (путем нахождения ядер Вольтерра).

Достоинства модели:

• • явная связь отклика и воздействия;
• • одновременный учет инерционных и нелинейных свойств моделируемого устройства;
• • возможность простого разделения нелинейных продуктов различных порядков за счет блочного представления преобразования входного сигнала.

К недостаткам модели следует отнести:

• • резкое усложнение всех расчетов и преобразований по мере увеличения порядка k рассчитываемого ядра;
• • плохую сходимость ряда Вольтерра при увеличении степени нелинейности цепи или амплитуды входного воздействия;
• • громоздкость многомерного преобразования Лапласа.

Поэтому в настоящее время в основном применяют полиномы Вольтерра с 3—5 членами, где указанные недостатки проявляются мало. При этом требуемой точности получаемых результатов можно достигнуть только при анализе цепей с малой степенью нелинейности.