Применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения

В линейных электрических цепях ток в любой ветви может быть представлен в виде произведения напряжения на входе цепи на входную или взаимную g^, проводимость:

При подключении цепи под постоянное напряжение это соотношение также имеет силу. При этом и ток, и эта проводимость будут являться функциями времени, т. е.

где gy,(t) — переходная проводимость.

В общем случае переходная проводимость gk"(t) определяется как отношение переходного тока в k-й ветви к напряжению в /7-й ветви при отсутствии источников в остальных ветвях:

Аналогично напряжение иа некотором участке цепи во время переходного процесса является также функцией времени и пропорционально воздействующему напряжению:

где k (t) — переходная функция, определяемая как отношение напряжений U_ab и U при отсутствии в цепи других источников. Обычно для определения g (t,) и k (t,) используют постоянное напряжение U = 1 В.

Переходную проводимость g (t) и переходную функцию напряжения k (t) называют временными характеристиками цепи h (t). Их используют, например, для определения тока или напряжения на участке цепи при включении этой цепи под напряжение сложной формы.

Пусть к цепи с нулевыми начальными условиями и известной переходной проводимостьюg (t) подключается напряжение и (т) (рис. 5.15, а). Чтобы определить ток в цепи в момент времени t, заменим плавную кривую ступенчатой и просуммируем токи от начального напряжения;/(()) и от всех ступенек напряжения, вступающих в действие с запозданием во времени:

где каждая ступенька приращения напряжения определяется следующим образом:

Заменяя конечный интервал времени Дт на бесконечно малый г/т и переходя к интегралу, получим.

Эту формулу называют интегралом Дюамеля. С ее помощью можно определить переходное напряжение на некотором участке цепи, если вместо переходной проводимости g (t) использовать переходную функцию напряжения h{t).

Если входное напряжение изменяется по более сложному закону — скачком в определенные моменты времени (рис. 5.15, б), то ток определяют как сумму токов от всех напряжений, воздействующих на цепь до момента времени t.

Для момента времени t2

Puc. 5.15. К выводу интеграла Дюамеля (а), напряжение, изменяющееся по сложному закону (б).

Для времени t > t₂

Пример 5.10.

Определить ток в индуктивной катушке = 0,5 Ом, I/. = 1 Гн) черев 5 с после подключения ее под напряжение, изменяющееся, но сложному закону (см. рис. 5.15, б), если щ (т) = 150 — ЮОе^-0,25т действует до времени t = 4 с, a и₂(т) ⁼ 50 + WOe-Mb-V — до времени t₂ = 6 с.

Решение. 1. Определяем переходную проводимость g (t). Для этого определим ток в цепи RL при подключении ее под постоянное напряжение U = 1 В. Ранее было показано (см. подключение цепи RL под постоянное напряжение).

2. Определим производные напряжений:

3. Определяем закон изменения тока в общем виде для t < t <

4. Подставляем в полученное выражение t = 4 с, t = 5 с и получаем г =.

= 201,4 А.