Расчет NPV при нечетко заданных потоках платежей

В настоящее время традиционный подход к расчету NPV, IRR и других критериев подвергается вполне заслуженной критике ввиду того, что значения будущих доходов P_t, затрат KV_t и процентных ставок d являются весьма неопределенными величинами. При этом отмечается, что имеющие место неопределенности в отличие от случая прогнозирования курсов акций не могут быть адекватно описаны в теоретико-вероятностных терминах.

В реальных ситуациях инвестор или привлекаемый им эксперт в состоянии уверенно указать лишь интервалы, в пределах которых могут оказаться значения Р₍, KV_t, d, и наиболее ожидаемые значения внутри этих интервалов. В итоге возникает проблема разработки адекватной методики расчета финансовых показателей проектов при наличии такого рода неопределенностей, имеющих зачастую субъективную природу (что присуще гуманистическим системам).

В рамках рассматриваемой методики, которая опирается на аппарат теории нечетких множеств, обобщающей традиционные теоретико-вероятностные методы и порождающей концептуально новый подход к оперированию в условиях неопределенности, значения неопределенных параметров задаются в виде нечетких интервалов (рис. 6.17).

На практике эксперты задают нижние — Р_п (пессимистическая оценка) и верхние — Р₍₄ (оптимистическая оценка) границы интервалов и интервал наиболее ожидаемых (возможных) значений [P_t2, P_t3] анализируемых параметров. Функция p (P_t) интерпретируется как степень принадлежности значений параметра интервалу (в рассматриваемом случае [P_tl, P_t4]) и непрерывно изменяется от 0 (вне интервальной области) до максимального значения, равного 1, в области наиболее возможных значений.

Рис. 6.17. Нечетко-интервальная форма исходных данных, где р (Р,) — функция принадлежности нечеткому интервалу.

Линейный характер функции не является обязательным, однако такая форма является наиболее употребимой, поскольку позволяет описывать нечеткие интервалы в удобном для вычислений четырехреперном виде, например, Р₍ = {Р_п, Р_а, Р_[3, Р₍₄}. В итоге точные значения параметров, используемых в выражении для NPV, заменяются их нечетко-интервальными аналогами, после чего с использованием правил оперирования с нечеткими числами производятся необходимые расчеты.

Для поддержки расчетов по экономико-математическим моделям с нечетко-интервальными параметрами было также разработано специальное программное обеспечение, реализованное на языке C++ с использованием техники объектно-ориентированного программирования, позволяющее после задания параметров исходными нечеткими интервалами (например, в случае трапециидальных интервалов в четырехреперной форме) в дальнейшем оперировать с ними, как с обычными четкими параметрами в соответствии с правилами обычной математики. Например, имеются два нечетких интервала А = {А_г, А₂, А_у А₄} и В = {В _v В ₂, В ₃, В ₄}, которые требуется сложить. Ясно, что результатом будет также некоторый нечеткий интервал С, параметры которого {С_р С₂, С₃, С₄> находятся по специальным правилам интервальной математики, требующим (особенно для деления интервалов) довольно громоздких вычислений. Разработанное программное обеспечение позволяет представить при разработке экономико-математической модели математические операции с нечеткими интервалами в привычной форме С = А + В, С = А / В и т. д.

Опыт использования разработанных методик и программного обеспечения для финансово-экономического анализа в условиях неопределенности в инвестиционном проектировании и транспортно-сбытовой логистике позволяет судить об их достаточно универсальном характере и возможности использования практически для любых типов экономико-математических моделей.

Техника нечетко-интервальных вычислений основана на разложении исходных нечетких интервалов на так называемые a-уровни (см. рис. 6.17), т. е. на четкие интервалы с одним и тем же значением степени принадлежности с дальнейшим применением техники четко-интервальных вычислений и восстановлением итоговых нечетких интервалов по полученным в расчетах интервалам a-уровней. Для иллюстрации данной методики можно привести конкретный пример расчета NPV при нечеткоинтервальном задании исходных данных (рис. 6.18).

Рассмотрим следующую модельную ситуацию.

Пусть имеется инвестиционный проект, в котором фаза строительства продолжается два года с инвестициями KV_QnKV_l для каждого года соответственно. Получение прибыли от проекта начинается сразу же по окончании строительства и заканчивается через два года (Р₂иР₃). Ставка ссудного процента d остается постоянной в течение всего инвестиционного цикла. Соответствующие исходные нечеткие интервалы через свои реперные точки зададим следующим образом:

Ставка ссудного процента задается одним и тем же для всех лет проекта интервалом d = {0,08; 0,13; 0,22; 0,35}.

Как видно из рис. 6.18, результатом расчета является также нечеткий интервал NPV = {2,2; 4,5; 6,8; 7,9}.

Полученный нечеткий интервал NPV позволяет дать оценку прогнозируемой чистой текущей стоимости, ее наиболее возможных значений, а также оценить степень риска инвестиций.

Рис. 6.18. Итоговый интервал NPV.