Применения критерия %2

Предположим, что п элементов выборки расположены в таблице сопряженности признаков с двумя входами по двум переменным (табл. 1.1).

Таблица 1.1. Таблица сопряженности признаков.

Таблица такого рода называется таблицей сопряженности признаков, и часто требуется проверить гипотезу о том, что признаки, по которым она построена, независимы.

Пусть p, j — вероятность того, что наблюдение принадлежит i-й строке и j-му столбцу, другими словами, имеет место комбинация признаков (i, j). Полагая р,. = X PipP j ~ Z Pip ви;

i ‘

дим, что гипотеза о независимости эквивалентна гипотезе о том, что Н₀: p_i} = pt.p.j, 2 Pi- = 1, Е P-j = 1;

i )

Так как с помощью последних двух соотношений две из г + s постоянных можно выразить через остальные г + s — 2, то совместное распределение двух признаков содержит г + s — 2 неизвестных параметров. Чтобы применить к этой задаче критерий х², следует вычислить.

где суммирование распространяется на все rs групп, приведенных в таблице сопряженности признаков, при этом р,. и р следует заменить их оценками, полученными видоизмененным методом х².

Учитывая, что P_r. = 1 -р_г. -… -р,.__ь и P._s = 1 —р._$ -… -p._s__v получаем уравнения для определения р,. и р :

Решениями этих уравнений.

являются частоты, вычисленные по частным суммам. Подставляя их вместо р,. и р • в зависимость х², получим.

Так как имеем rs групп и г + 5 — 2 параметра, определяемых по выборке, предельное распределение х² имеет.

степеней свободы.

Пример 1.18.

В табл. 1.2 приводятся числа комбинаций двух признаков для сладкого горошка: форма пыльцы и окраска.

Таблица 1.2. Таблица сопряженности признаков формы пыльцы и окраски.

Проверить гипотезу Н₀ о независимости этих признаков на уровне значимости а = 0,001.

Здесь.

Число степеней свободы распределения (2 — 1)(2 — 1) = 1. Полученное расхождение очень значимо, поэтому гипотеза отвергается.