Модели дублированных вычислительных комплексов

Отказоустойчивые вычислительные комплексы могут обеспечивать непрерывное выполнение функциональных задач (приложений) даже при условии возникновения отказов и сбоев в аппаратных, программных или сетевых компонентах. Отказоустойчивость вычислительных комплексов достигается при структурной и временной избыточности, при резервировании всех основных узлов системы.

Для увеличения отказоустойчивости вычислительной системы все компьютеры комплекса должны быть способны выполнять задачи, возложенные на комплекс, при этом компоненты каждой ВМ резервируются (в простейшем случае дублируются), и в системе обеспечивается реконфигурация: работоспособный комплекс формируется на основе включения в функционирующую конфигурацию сохраненных после отказов компонент. В реконфигурируемых комплексах по мере накопления отказов происходит снижение эффективности функционирования, т. е. деградация.

В простейшем случае отказоустойчивость вычислительного комплекса достигается при кратности резервирования 2/1, т. е. при дублировании. Связь между машинами ДВК может осуществляться на уровне различных компонентов с помощью средств комилексирования. Межмашинная связь должна быть достаточно гибкой и обеспечивать независимость функционирования различных модулей системы и их взаимодействие, в том числе при накоплении отказов компонент.

Приведем пример построения марковской модели для дублированного вычислительного комплекса, включающего два вычислительных модуля и две системы хранения (рис. 10.1). Для выполнения функций рассматриваемой вычислительной системы требуется работоспособность хотя бы одного вычислительного модуля (процессорного элемента) и одной системы хранения (элемента памяти).

Рис. 10.1. Дублированный вычислительный комплекс:

ВМ — вычислительный модуль; СХ — система хранения Состояния системы зададим матрицей, первая строка которой отображает исправность процессорных элементов, а вторая строка — элементов памяти. Введенная матрица для исходного состояния, для состояния при отказе первого либо второго процессорного элемента, при отказе первого либо второго элемента памяти соответственно имеет вид:

При отказе одного элемента памяти и одного процессорного элемента матрица имеет вид:

Состояния при отказе двух элементов памяти либо двухпроцессорных элементов представлены матрицами вида:

При идентичности одноименных элементов из соображений симметрии нижеприведенные состояния, объединяемые скобками, будем считать идентичными:

С учетом симметрии построим граф состояний и переходов для систем, в которых восстановление осуществляется одной ремонтной бригадой, в предположении, что элементы, не задействованные в вычислительном процессе, не отказывают. Граф состояний и переходов для исследуемой системы, если перерывы в вычислительном процессе при неработоспособных состояниях комплекса на время ремонта допустимы, приведен на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Граф состояний и переходов системы при допустимости перерывов вычислительного процесса во время ремонта.

Для исследования стационарного режима функционирования систем составляется система алгебраических уравнений. Решение системы алгебраических уравнений, соответствующих графу состояний и переходов, но рис. 10.2, в системе компьютерной математики Mathcad 15 приведено на рис. 10.3. В результате решения системы уравнений находятся вероятности всех состояний вычислительного комплекса. Для вычисления стационарного коэффициента готовности комплекса суммируем вероятности работоспособных состояний S₀—S₃.

Граф состояний и переходов системы, для которой ремонт реализуется после ее перехода в полностью неработоспособное состояние, представлен на рис. 10.4.

Рис. 10.3. Решение системы алгебраических уравнений, соответствующих графу состояний и переходов дублированного комплекса.

Рис. 10.4. Граф состояний и переходов системы, для которой ремонт реализуется после ее перехода в полностью неработоспособное состояние Рассмотрим ДВК, который конструктивно выполнен в виде двух плат, каждая из которых соответствует полукомплексу. Будем считать, что восстановление функционирования реализуется путем замены платы целиком после того как в ней происходит отказ, в этом случае граф состояний и переходов системы представлен на рис. 10.5, а и б для случая одного и двух ремонтников. Пример расчета коэффициента готовности рассматриваемой системы на основе символьных вычислений с представлением результатов расчета представлен на рис. 10.6.

Вычислив коэффициенты готовности элементов процессорных и памяти: k_{ = ц,/(>_м + р,), k₂ = р₂/(Х₂ ⁺ Pv)> ^— можно найти коэффициент готовности системы как.

Рис. 10.5. Граф состояний и переходов ДВК с восстановлением при замене плат.

Рис. 10.6. Расчет коэффициента готовности для системы, представленной графом перехода на рис. 10.5.

Однако такой расчет не учитывает ограничений обслуживания, когда число ремонтников меньше числа узлов, что может вызвать задержки восстановления отказавших узлов, т. е. результаты расчета дадут завышенную оценку надежности. При обслуживании системы двумя ремонтниками (см. рис. 10.5, б) представленный расчет К с использованием коэффициентов готовности элементов k_i и к., дает истинный результат.

Рассмотрим ДВК, который конструктивно выполнен в виде двух плат, каждая из которых соответствует полукомплексу. Будем считать, что восстановление полукомплекса путем замены его платы целиком реализуется, только когда ресурсы платы не могут быть использованы в вычислитель;

Рис. 10.7. Граф состояний и переходов ДВК с восстановлением при замене плат, только когда они не могут быть использованы для вычислений ном процессе при взаимодействии с работоспособными ресурсами плат обоих полукомплексов. В этом случае диаграмма состояний и переходов системы представлена на рис. 10.7.

Результаты сравнения дисциплин восстановления по рис. 10.5 и 10.7 по коэффициенту готовности представлены на рис. 10.8, на котором кривая 1 соответствует дисциплине восстановления по рис. 10.5, а кривая 2 — по рис. 10.7. Из представленных графиков видно преимущество дисциплины обслуживания с восстановлением сразу после возникновения отказа.

Рис. 10.8. Результаты сравнения дисциплин восстановления по рис. 10.5 и 10.7.

Граф состояний и переходов системы с возможностью восстановления, в которой предусмотрена раздельная замена вычислительных модулей и модулей памяти, недопустимо прерывание вычислительного процесса при достижении неработоспособного состояния и невозможно выполнение требуемых функций при неработоспособных состояниях комплекса, представлен на рис. 10.9. Приведенный граф состояний и переходов описывает функционирование управляющих систем, когда перерыв в управлении из-за отказа компьютерной системы может привести к катастрофическим последствиям для объекта управления (например, к аварии транспортных средств), после которых восстановление управляющей системы (после катастрофического уничтожения объекта управления) теряет смысл.

Для исследования нестационарного режима работы систем составляется система дифференциальных уравнения. Решение системы дифференциальных уравнений, составленной по графу состояний и переходов на рис. 10.2, в системе компьютерной математики Mathcad 15 приведено на рис. 10.10.

Рис. 10.9. Граф состояний и переходов системы при недопустимости перерывов вычислительного процесса во время ремонта.

Рис. 10.10. Решение системы дифференциальных уравнений, соответствующих графу состояний и переходов по рис. 10.2.

В результате решения системы дифференциальных уравнений находятся вероятности всех состояний вычислительного комплекса в зависимости от времени работы. Для вычисления нестационарного коэффициента готовности комплекса суммируем вероятности работоспособных состояний S₀—S₃, найденные при решении системы дифференциальных уравнений.

Зависимость нестационарного коэффициента готовности вычислительного комплекса от времени работы приведена на рис. 10.11. Заметим, что при увеличении времени функционирования нестационарный коэффициент готовности комплекса стремится к сто стационарному коэффициенту готовности.

Рис. 10.11. Нестационарный коэффициент готовности комплекса, соответствующего графу состояний и переходов по рис. 10.2.

Для системы, соответствующей графу состояний и переходов на рис. 10.9, учитывая наличие поглощающих состояний, возможно исследование только в нестационарном режиме (коэффициент его стационарной готовности всегда равен нулю). Система дифференциальных уравнений, составленная по графу состояний и переходов на рис. 10.9, задаваемая для Mathcad 15, приведена на рис. 10.12. Результаты решения представленной системы дифференциальных уравнений приведены на рис. 10.13. Для вычисления нестационарного коэффициента готовности комплекса суммируем зависящие от.

Рис. 10.12. Система дифференциальных уравнений, составленная, но графу состояний и переходов на рис. 10.9.

Рис. 10.13. Результаты решения системы дифференциальных уравнений, соответствующих графу состояний и переходов по рис. 10.9.

времени вероятности работоспособных состояний S₀—S₃, вычисленные при решении системы дифференциальных уравнений.

Зависимость нестационарного коэффициента готовности вычислительного комплекса, соответствующего графу состояний и переходов, но рис. 10.9, от времени работы приведена на рис. 10.14.

О 500 1 • 10* 1,5−10^:* 2-10'^!

Рис. 10.14. Нестационарный коэффициент готовности комплекса, соответствующего графу состояний и переходов по рис. 10.9.