Потенциал центрально-симметричного поля

Пусть электрическое поле имеет вид Ё (г) = Е (г)—, г — радиус;

г

вектор (г = jc/ + у j + zk], г = (х² + у¹ + г²)^|/2, Е (г) — некоторая функция. Ищем разность потенциалов между точками г_х = х,/ + yj + z_xk и г₂ = х₂/ +yj + z₂k (рис. 7.10).

Отметим особенность данного поля. Имеем |Ё (г) | = ^ |г| = Е (г) |.

(если А = аа, а — число, то W = |а| • |а|), т. е. величина напряженности поля одинакова на сфере радиусом г, а направление вектора Е —.

вдоль луча из начала координат (— = п — вектор единичной длины вдоль г.

такого луча). Поле обладает, как говорят, сферической симметрией.

Пусть / — некоторая кривая, ведущая из точки 1 в точку 2. Имеем:

Puc. 7.10.

Вектор d/ ведет из точки г в точку r+dr:F + dr=F + dl, т. е. dr = d/ и dr = dx i + dy j + dz k.

(учтено, что и du = jd (u²)). Этот результат можно было получить еще проще: rd/=rdr= i-d (r г) = i-d (r^!)= г dr. Таким образом,.

Если функция Е (г) предъявлена, интеграл может быть взят.

Существенно, что координаты начальной и конечной точек входят в ответ лишь в комбинации (х² + у² + г²)^|/2 = г, т. е. разность потенциалов между любыми двумя точками, одна из которых взята на сфере г = г, другая — на сфере г = r_v будет одна и та же.

На сфере х² + у² + г² = г² потенциал постоянен. Это следствие сферической симметрии.