Уравнения напряжений, токов, потокошепаений. 
Схема замещения

В установившемся режиме, который мы будем рассматривать, к зажимам обмотки статора приложено симметричное трехфазное напряжение. Возникающие токи имеют равные амплитуды и сдвинуты на унты 120°, порядок следования — А, В, С. В этом случае результирующий вектор напряжения и, имеет постоянную величину, равную амплитудному значению напряжения, и вращается относительно статора, т. е. неподвижной системы координат, с постоянной угловой скоростью coi = 2я/| [эл. рад/с] в положительном направлении (прошв часовой стрелки).

Если напряжение фазы.

то его можно представить как проекцию результирующею вектора на ось фазы А, определяемого уравнением.

для трехфазной машины или аналогичным уравнением для двухфазной машины.

где U_s = U_me^{j" — комплексная амплитуда напряжения. Аналогичным образом запишутся результирующие векторы для токов и потокосцеплений обмоток — все они вращаются с постоянной скоростью соь т. е. вырождаются в комплексные пространственные величины}

^{Подставляя результирующие векторы в форме (4.1) в уравнения напряжений для статора и ротора (3.93) и (3.100) приведенного к неподвижной системе координат (а, р) (опуская индекс .v в последнем случае), после сокращения на общий множитель eJU>1' подучим}

Разность между скоростью бегущего поля coi и скоростью ротора со характеризуют так называемым скольжением.

Скорость ротора, равная скорости поля, соответствует скорости идеального холостого хода, в этом случае индуцируемая ЭДС и ток в обмотке ротора будут равны нулю. Диапазон изменения скольжения I > л- > 0 будет соответствовать двигательному режиму (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Шкала скольжений и скоростей асинхронной машины.

Если за счет подводимой механической мощности скорость ротора увеличить (со > со 0, то машина станет отдавать электрическую мощность, т. е. будет работать как генератор. И, наконец, если ротор вращается против поля, то такой режим соответствует режиму электромагнитною тормоза.

Во всех режимах работы скорость пата ротора в неподвижной системе координат, как видно из рис. 4.1, равна синхронной скорости со 1. Такой результат достигается за счет сложения скорости поля ротора относительно ротора (c)2 и механической скорости ротора (о. Приведенная сумма — алгебраическая. Причем когда ротор движется в направлении поля, его скорость считается положительной (со > 0), в противоположном — отрицательной (со < 0). С этим уравнением мы встречались ранее в виде условия образования вращающего момента.

Выражая разность скоростей согласно (4.3), уравнения (4.2) преобразуем к основной форме.

Зависимость между потокосцеплениями и токами запишем как.

Подставив полученные уравнения в (4.4) и поделив второе уравнение на скольжение s, запишем.

В уравнениях введены индуктивные сопротивления от полей рассеяния.

и индуктивное сопротивление от основного магнитного потока Х_т = coi L,".

Уравнениям (4.6) соответствует электрическая схема замещения, приведенная на рис. 4.2.

Здесь полезно обратить внимание на уравнение (4.4) для ротора, получаемое после деления на скольжение s:

Оно трактуется как результат приведения к неподвижному ротору [16, 17], когда возникает ситуация, где частоты токов и ЭДС в контурах обмотки статора и ротора оказываются одинаковыми, равными частоте сети. Но такое объяснение в нашем случае оказывается неприемлемым. Дело в том, что уравнения (4.4) и (4.5) получены в результате преобразования а, р, которые приводят нашу систему к системе, где ротор неподвижен и, следовательно, индуктируемые в его обмотках ЭДС и токи уже имеют частоту приложенного напряжения. Эффект вращения ротора учитывается через значение ЭДС, наводимой в обмотках последнего, которая пропорциональна величине скольжения. Операция деления всех членов уравнения напряжений для контура на скольжение переводит учет эффекта вращения с величины ЭДС на условное активное сопротивление цепи ротора, равное

Рис. 4.2. Схема замещения асинхронной машины в установившемся режиме работы.

В результате ЭДС, как нетрудно наблюдать, не зависит от скольжения и равна ЭДС неподвижною ротора. При этом очевидно, что частоты токов до и после операции деления остаются равными частоте сети (рис. 4.2).

Найдем токи, протекающие в машине. Для этого целесообразно выразить их через потокосцепления 'F_s и Ч*, [18]. На первый взгляд, это усложняет задачу, так как токи могут быть найдены непосредственно из решения уравнений (4.6) или анализа соответствующей им схемы замещения (рис. 4.2.). Однако, как будет видно, предлагаемый подход обеспечивает получение более компактных результатов по сравнению с приведенными, например, в [ 15] и, что не менее важно, позволит наблюдать, каким образом принцип действия машины определяет индуктивные параметры машины.

В соответствии с ним разрешим систему уравнений (4.5) относительно токов:

где ц₅ = L_m/L_s, ц,. = L_mjL_r — частичные коэффициенты магнитной связи для обмоток статора и ротора; L'_s и Ц. - переходные индуктивности обмоток, которые определяются ослуюш ими уравнениями:

Здесь множитель в скобках, согласно теории цепей, называется коэффициентом рассеяния двух магнитно-связанных контуров.

Переходные индуктивности много меньше индуктивности контура, т. е. L' «А и Ц. „L_r, так как они определяются индуктивностями от полей рассеяния. Это легко установить, представив индуктивность фазы через индуктивность от основного поля L“, и индуктивность от полей рассеяния 1» следующим образом:

Подставив эти уравнения в выражения переходной индуктивности для статора и ротора, запишем.

Полученным выражениям соответствуют схемы замещения, приведенные на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Схемы замещения для переходных индуктивностей статора (а) и ротора (б).

Так как индуктивность от основного магнитного поля много больше индуктивности рассеяния — L_m «/_с, то приближенные значения для переходных индуктивностей окажутся равными и будут определяться суммой индуктивностей от полей рассеяния.

Физически такое положение объясняется тем, что индуцированные электродвижущие силы в соответствии с законом Ленца создают токи, препятствующие изменению потокосцешюния контура, заставляя магнитный поток взаимоиндукции замыкаться по путям полей рассеяния. Причем необходимо заметить, что индуктивности с ростом воздушного зазора будут уменьшатся, тогда как переходные — увеличиваться, так как ослабевает магнитная связь контуров.

Подставив токи (4.7) в уравнения напряжений (4.4), получим.

Решение этих уравнений существенно упростится, если в них пренебречь активным сопротивлением R_s. Однако тот же эффект достигается, если вместо напряжения на зажимах U _v использовать напряжение U', равное.

которое назовем напряжением за активным сопротивлением (см. рис. 4.2). Отыскав решение с использованием (4.11), перейдем к действительному напряжению U _v, при этом, как будет показано ниже, удается учесть увеличение мощности, связанное не только с электрическими потерями, но и потерями в стали.

В результате введения U' из (4.9) найдем потокосцсплснис для статора

подставив которое в (4.10), получим.

Если здесь ввести относительный параметр

то выражение для потокосцспления ротора преобразуется к следующему виду:

По найденным потокосцеплениям, используя уравнения (4.7), найдем токи.

Намагничивающий ток I', согласно замещениям (см. рис. 4.2) равен.

где X_s = со | L_s индуктивное сопротивление обмотки статора при разомкнутой обмотке ротора (I,. = 0). Напомним, что найденные величины — потокосцсплсния и токи — определяются напряжением за активным сопротивлением U'. Именно этим обстоятельством и объясняется простая форма полученных решений (4.12), (4.14)—(4.17).

Доя учета активного сопротивления R_s имеются два пути. Первый — вернуться к исходной системе уравнений (4.9) и (4.10) и решить ее, повторяя ранее проделанные процедуры. Другой путь, как указывалось выше, заключается в замене напряжения U' на U, которое определяется уравнением (4.11). При этом оказывается возможным учесть и потери в стали сердечника статора, обусловленные изменением потокосцсплсния Ч',., если дополнить схему замещения (см. рис. 4.2) соответствующим сопротивлением г_м, как показано на рис. 4.4. В этом случае потери в стали определяются с учетом потерь и от полей рассеяния, и при этом, что принципиально важно, обеспечивается равенство сил (моментов), действующих на статор и ротор.

Рис. 4.4. Схема замещения асинхронной машины с учетом потерь в стали.

Так как ток статора равен сумме токов.

где каждое слагаемое определяется напряжением U:

то напряжение за активным сопротивлением найдется согласно (4.11):

Здесь К (.у) — коэффициент, учитывающий падение напряжения на сопротивлении коэффициент а = 1 + R_s!r_v = 1, если потерями в стали можно пренебречь (г = °°).

Теперь, если в (4.12), (4.14), (4.15) и (4.17) напряжение за активным сопротивлением U' заменить на U_s., то согласно (4.20) поеле несложных преобразовании получим уравнения для потокосцеплений.

для токов l_s и I' (рис. 4.4) для тока ротора.

для тока намагничивания _т = I' + 1_Г

В приведашых выражениях для сокращения зашщи введены следующие обозначения:

Заметим, что выражения для токов могли быть найдены согласно схеме замещения, приведенной на рис. 4.4. Однако при таком подходе техническое решение задачи, в которой присутствуют три электрически связанных контура, было бы гораздо сложнее. Дтя этого достаточно просмотреть классическую теорию асинхронных машин, приведенную в различных учебных курсах [14−16]. Но помимо простоты предлагаемый подход на первом этапе позволяет найти ядро решения, на котором часто и заканчивается поиск искомого результата.