Процедура определения оптимального управления

На основе рассмотренных соотношений принципа максимума Понтрягина можно предложить следующую процедуру расчета регулятора.

• 1. Описание объекта следует привести к стандартному для теории оптимального управления виду (12Л), х = f (x, и), и < U.
• 2. Записывается критерий оптимальности (12.4) в форме

• 3. Формируются расширенные векторы состояния 2 (12.28) и правых частей (p (z, и) (12.29); в общем виде записывается вектор сопряженных координат у = (у, |/₂… |/") (12.30).
• 4. В форме скалярного произведения векторов /(•) и ср () записывается гамильтониан (12.31).
• 5. Из условия максимума гамильтониана (maxЯ) определяется опти-

U G.

мальное управление как функция сопряженных координат, г/° = г/°(|/).

6. Формируется система дифференциальных уравнений для нахождения сопряженных координат.

7. Вычисляется оптимальное управление в виде функции времени (программное управление).

8. По возможности осуществляется переход к оптимальному управлению в виде обратной связи.

Рассмотрим вычисление оптимального управления с помощью описанной процедуры на примере.

Пример 12.4. Определить оптимальное управление для объекта, поведение которого описывают уравнения.

Решение

Требуется обеспечить переход из начальной точки в конечную за заданное время Т = 1с при минимуме затрат энергии, т. е.

Поскольку известно описание объекта в переменных состояния, переходим к формированию расширенных векторов состояния и правых частей, а также запишем вектор сопряженных координат:

Сформируем теперь гамильтониан: Определим его максимум по и:

Из этого уравнения определим оптимальное управление в виде функции сопряженных координат:

Для сопряженных координат запишем систему дифференциальных уравнений В результате оптимальное управление принимает вид.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Коэффициенты i = 1,2, определим, решая краевую задачу. С этой целью запишем уравнения замкнутой системы из которой определим:

Определим решение для переменных состояния в виде.

Учтем теперь заданные начальные и конечные условия и значение Т— 1с:

Решая полученную систему уравнений, определим неизвестные коэффициенты: />, = -12, Ь₂ = 6. В результате оптимальный программный закон управления имеет вид.