Средние числовые характеристики положения случайной величины

Очень часто приходится сравнивать несколько выборок по наличию у них некоторого свойства, а главное, по уровню сформированное™ этого свойства. Это означает, что бывает необходимо ставить в соответствие всей выборке одно число, приблизительно дающее представление о всех числах исследуемого массива. Это число называют средним и обозначают М от английского mean value — среднее значение. В статистике используются разные способы вычисления среднего значения. Это зависит от природы элементов выборки. В педагогике, спорте и торговле используют разные показатели среднего значения. Различают структурные и количественные средние значения. Структурные средние значения (мода и медиана) характеризуют структуру расположения вариант в упорядоченном массиве опытных данных. Количественное среднее значение дает возможность судить о среднем размере вариант (выборочная средняя).

Мода — наиболее часто встречающаяся варианта в данном массиве.

Обозначение: Мо.

Удобно находить моду, если статистическое распределение выборки уже подготовлено.

Для интервального вариационного ряда прежде всего определяют модальный интервал — промежуток, имеющий наибольшую частоту.

Для уточнения моды интервального вариационного ряда можно использовать формулу, учитывающую h — шаг промежутка, х_т — нижнюю границу модального интервала, f_m — частоту модального интервала, /_т-1, /_т+1 — частоту промежутка, предшествующего модальному интервалу и следующему за ним:

По гистограмме или полигону частот также легко определить моду. На полигоне частот моде соответствует точках, которой соответствует максимальная относительная частота, или статистическая вероятность. Как определить моду по гистограмме, можно понять из рис. 6.2.

В связи с модой различают унимодальное, если мода одна; бимодальное, если моды две; полимодальное распределение, если есть больше двух мод. Но если все значения случайной величины встречаются с одинаковой частотой, то считается, что моды нет.

Адекватная область применения моды — оценка стоимости и ассортимента товара. Наиболее часто встречающийся размер обуви — хорошая характеристика среднего размера. Однако наиболее часто встречающееся время, затраченное на преодоление некой дистанции в массовом забеге, чаще всего будет ближе к слабому результату. Для тренеров важнее, какое место займет спортсмен. Среди характеристик среднего спортсмены предпочтут ориентироваться на медиану, определяющую среднее место в череде других результатов.

Медиана — число, соответствующее середине упорядоченной последовательности чисел.

Обозначение: Me.

Если объем выборки — нечетное число, то медианой является элемент ряда, стоящий посередине упорядоченного ряда.

Если объем выборки — четное число, то медианой считается среднее арифметическое двух средних членов ряда из четного числа членов. При этом медиана не совпадет ни с одним членом ряда, но будет характеризовать его середину.

Следует отметить часто встречающуюся ошибку при определении медианы из-за того, что упорядочивают варианты, а не все элементы массива значений, в том числе совпадающие. Для самоконтроля важно помнить: число элементов упорядоченного ряда должно совпадать с объемом выборки, иначе возникают ошибки в определении медианы ряда.

Если объем выборки достаточно большой, то для самопроверки бывает удобно при поиске медианы сначала выяснить номер медианы в упорядоченном ряду.

Глубина ряда, или средний номер, — это номер варианты, находящейся в середине упорядоченного числового ряда.

Обозначение: mes.

Глубину ряда можно посчитать по формуле mes= ^П * • Однако вычисление по этой формуле вполне может дать нецелый результат, а номер никак не может быть дробным. Это произойдет как раз при четном числе членов ряда. В этом случае средними номерами считаются два целых числа, ближайших к полученной глубине ряда.

Например, ряд состоит из четырех членов: 4; 8; 13; 17. Вычислим глубину ряда:

Поскольку номера п = 2,5 не существует, то берем близлежащие к числу 2,5 целые числа: 2 и 3. Целые числа могут служить номерами. Под этими номерами в ряду стоят числа х₂ = 8, х₃ = 13. Находим их среднее арифметическое:

Число 10,5 и будет медианой заданного ряда чисел. Заметим, что число 10,5 не является членом заданного ряда чисел, но является медианой этого ряда.

Адекватная область применения медианы: оценка спортивных и других достижений, непрерывно изменяющихся величин.

Поклепы на статистику — результат работы дилетантов, неграмотно выбирающих тот или иной инструмент математической статистики. Среднюю температуру по больнице действительно смешно оценивать по среднему арифметическому: в морге температура 0°, а в реанимации 42°. Однако совсем отказываться от среднего арифметического тоже не стоит. В педагогике это востребованная, адекватная средняя характеристика отметок учащихся.

Выборочное среднее (среднее арифметическое) — частное от деления суммы чисел на их количество.

Обозначение: М_х или х:

Среднее арифметическое — самое известная средняя характеристика, подразумевающая сложение всех элементов и деление полученной суммы на количество слагаемых, но записать эти операции можно в разных формах выражения. В статистике, оперирующей большими массивами чисел, более востребована следующая формула:

Просто в этой формуле одинаковые слагаемые не складываются по отдельности, а их сумма записывается через произведение слагаемого на их количество xj_v где f_i мы называем абсолютной частотой. Формула получается более компактной и удобной для вычислений.

Среднее значение должно иметь ту же точность, что и все анализируемые варианты или варианты с наибольшей точностью. Соответственно, если вычисления выборочного среднего приводят, например, к бесконечной десятичной дроби, что случается часто, то при записи ответа необходимо округление с точностью, соответствующей наибольшей точности вариант. Однако если выборочное среднее используется в дальнейших вычислениях, то при округлении берется один запасной десятичный знак, чтобы уменьшить погрешность последующих вычислений.

Формулу (6.6) легко преобразовать еще к одному виду, поделив не всю сумму на я, а каждое слагаемое. Но каждая полученная дробь есть не что иное, как относительная частота Wf

Поскольку относительная частота является, по сути, статистической вероятностью, формулу (6.7) называют еще формулой математического ожидания, а саму величину х обозначают с этой точки зрения М (Х)_У где X — множество всех значений случайной величины.

Математическое ожидание — величина, равная сумме произведений значений случайной величины на их вероятности.

Такой взгляд на знакомое среднее арифметическое очень важен в статистике, так как в сущности является основой для построения статистических гипотез. Ведь оценка вероятности связана с предсказанием, иногда вполне научным. Смысл формулы (6.7) заключается в предсказании, чему может равняться выборочное среднее для всего множества значений случайной величины, а вероятности — предсказание средних значений относительных частот в нескольких сериях испытаний.

К вопросу о большом количестве значений непрерывной случайной величины для выборок большого объема относится и поиск выборочного среднего для интервального вариационного ряда. Аналог формулы (6.6) использует вместо абсолютных частот вариант абсолютные частоты промежутков, а вместо вариант — представителя промежутка.

Представителем промежутка х_{ называется среднее арифметическое левой и правой границ промежутка (?_f__t; t]

Для интервального вариационного ряда формула (6.6) выборочного среднего принимает вид

В статистике обосновано, что выборочное среднее — эго значение случайной величины, сумма отклонений от которого всех значений случайной величины данной выборки равна нулю. Однако характеристика этих отклонений, характеристики рассеяния членов некоторого числового ряда — широко востребованные характеристики выборки, активно используемые в психолого-педагогических исследованиях.

Адекватная область применения среднего выборочного: выставление отметок, оценка размера объектов.