Чистый изгиб двухслойной балки

На рис. 2.2, а показано сечение балки, состоящей из двух слоев. Сначала вычислим приведенные характеристики сечения. Площадь каждого слоя равна.

Для определения положения приведенного центра тяжести сечения воспользуемся гипотезой плоских сечений, из которой следует равенство.

Здесь р — радиус кривизны балки, а у отсчитывается от нейтральной оси, положение которой пока неизвестно.

Рис. 2.2. Напряжения в двухслойной балке.

По аналогии с изгибом однослойной балки определим ее положение из условия равенства нулю продольной силы N. Используя полученные из закона Гука выражения для, а в отдельных слоях.

получим.

Здесь S* = E_XS_X + E₂S₂ — приведенный статический момент сечения относительно центральной оси z_c. После этого для определения приведенного центра тяжести получим равенство.

где S_z = E_XS₁₀ + E₂S₂о — статический момент сечения относительно начальной оси z₍₎, a F* = E_iF_l + E₂F₂ — приведенная площадь сечения.

Заметим, что приведенный статический момент S_z0 и расстояние у_с могут отсчитываться от произвольной начальной оси.

Продолжая методику вывода формулы для нормальных напряжений в однослойной балке, вычислим изгибающий момент, действующий в сечении:

откуда получим.

Здесь E_XJ_X + E₂J₂ = J_z — приведенный момент инерции сечения относительно центральной оси z_c.

Окончательно для напряжений получаем формулу.

Пример 1. В качестве примера рассмотрим чистый изгиб бачки, сечение которой показано на рис. 2.1, я, при следующих исходных данных: b = 6 см, h_x = 2 см, h₂ = 12 см, ?, = 2−10^;> МПа, Е₂ = 2 -10⁴ МПа, М = 10 кН м.

Приведем промежуточные значения вычислений, приняв за начальную ось z₀, совпадающую с основанием сечения: F* = = 38,4 • 10⁵ МПа• см²; 5/ = 139,2 • 10⁵ МПа• см³; у_с = 3,625 см;? = = 671,1 МПа см⁴.

По формуле (2.5) вычислим напряжения, значения которых показаны на рис. 2.2, б. Отметим, что в нижнем слое, где модуль упругости более высокий, напряжения больше, что качественно совпадает с полученным выше результатом расчета двухслойного стержня на растяжение. Кроме того, напряжения равны нулю на уровне, совпадающем с приведенным центром тяжести, где и проходит нейтральная ось сечения.