Погрешность произведения и частного
По формуле (1.11) предельная абсолютная погрешность объема Поэтому. Оценивая последнее выражение, но абсолютной величине, получим: Отсюда вытекает, что теорема 2 верна и для частного. Понятие абсолютной и относительной погрешностей. Отсюда, используя приближенную формулу, находим: И — абсолютные погрешности аргументов функции. Отсюда относительная погрешность объема. Пусть задана… Читать ещё >
Погрешность произведения и частного (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Теорема 2. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.
Доказательство. Пусть и=ХХ2 … х". Предполагая для простоты, что приближенные числа положительны, будем иметь:
Отсюда, используя приближенную формулу 
, находим:
Оценивая последнее выражение, но абсолютной величине, получим:
Если А/ (/= 1, 2, …, п) — точные значения сомножителей х, и | Дх, — |, как это бывает обычно, малы по сравнению с х" то приближенно можно положить.
и.
где 5, — относительные погрешности сомножителей х, (/= 1,2, …, п) и 5 — относительная погрешность произведения. Следовательно,.
Следствие. Предельная относительная погрешность произведения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т. е.
Если 
, то 
и.
Следовательно.
Отсюда вытекает, что теорема 2 верна и для частного.
Общая формула для погрешности
Основная задача теории погрешности в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин [2−5].
Пусть задана дифференцируемая функция:
и 
— абсолютные погрешности аргументов функции.
Тогда абсолютная погрешность функции:
Обычно на практике | Дх,-1 — малые величины, квадратами, произведениями и высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому можно принять: 
Обозначая через Ах, (г=1, 2, …, п) абсолютные погрешности аргументов х, и через Дц — предельную погрешность функции и, для малых Axi получим:
При мер 1.4. Найти абсолютную и относительную погрешности объема шара V=na/6, если диаметр d=3,l см ± 0,05 см, а л «3,14.
Решение. Рассматривая л и d как переменные величины, вычисляем частные производные:
По формуле (1.11) предельная абсолютная погрешность объема 
Поэтому 
Отсюда относительная погрешность объема.
Вопросы и задания для самоконтроля
- 1. Определение приближенного числа.
- 2. Понятие абсолютной и относительной погрешностей.
- 3. Какие бывают источники погрешностей?
- 4. Погрешности суммы и разности?
- 5. Погрешности произведения и частного?
- 6. Общая формула погрешности?