Модулированные последовательности дельта-импульсов.
Математическая модель АЦП
Механизм образования модулированной последовательности дельта-импульсов х*(/) можно представить как модуляцию непрерывной функцией *(/) бесконечной последовательности единичных (немодулированных) дельта-импульсов 5*(/) (рис. 4.16) в результате прохождения непрерывной функции .*(/) через элемент, генерирующий модулированные дельта-импульсы (рис. 4.17). Такой элемент получил название… Читать ещё >
Модулированные последовательности дельта-импульсов. Математическая модель АЦП (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
При рассмотренном выше подходе, связь между исходной дискретной последовательностью чисел х[кТ] и эквивалентной ей последовательностью дельта-импульсов x*(t) представляется в виде.
в котором каждое число числовой последовательности в тактовый момент времени кТ заменяется дельта-импульсом соответствующей площади.
К модулированной последовательности дельта-импульсов х*(г) уже может быть применено преобразование Фурье.
или, вводя замену z=eTp, придем к следующей формуле.
которая в теории дискретных систем известна как формула прямого дискретного преобразования Лапласа (z-преобразования).
Приведем основные свойства z-преобразования.
1. Линейности.
2. Свойство смещения аргумента в области оригинала 
- 5. Связь начальных и конечных условий
- 3. Свойство смещения независимой переменной в области изображения
4. Правило дифференцирования изображения 
Таблица 4.2 Изображения последовательностей дельта-импульсов, модулированных некоторыми функциями
(/). | х (р). | X‘{z) |
1(0. | Р | Z z-1. |
'?1(0. | р' | Т-z. (Z-1)2 |
'2 •!('). | з. Р | т2Ф+О. (z-1)2 |
р + а | Z z-e~aT |
где X (z) не имеет полюсов на окружности единичного радиуса.
В табл. 4.2 приведены изображения некоторых часто встречающихся функций.
В том случае, когда числовая последовательность х[кТ] получена в результате квантования некоторой непрерывной функции х (/), соответствующая ей модулированная последовательность дельта-импульсов **(/) может быть представлена выражением.
где б (/)= ^ 6(/-?Г) — немодулированная последовательность дель;
А'=-х.
Рис. 4.16.
та-импульсов.
Механизм образования модулированной последовательности дельта-импульсов х*(/) можно представить как модуляцию непрерывной функцией *(/) бесконечной последовательности единичных (немодулированных) дельта-импульсов 5*(/) (рис. 4.16) в результате прохождения непрерывной функции .*(/) через элемент, генерирующий модулированные дельта-импульсы (рис. 4.17). Такой элемент получил название дельта-импульсного модулятора и может служить эквивалентной моделью реального АЦП. На схемах цифровых систем дельтаимпульсный модулятор обозначается в виде, представленном на рис. 4.17.
Рис. 4.17.
Так как функция 5*(/) является периодической, то она может быть представлена в виде ряда Фурье
aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">
С учетом этого выражение для модулированной последовательности дельта-импульсов может быть записано в виде Преобразуя это выражение по Фурье, получим.
При p-i со.
Рис. 4.18. Спектр модулирующего сигнала
Анализ последнего выражения показывает, что действие дельта-импульсного модулятора приводит к размножению спектра модулирующего сигнала вдоль оси частот (рис. 4.18, 4.19).
При этом спектр модулированной последовательности дельта-импульсов является периодической функцией частоты с периодом 2л/7.
Обратим внимание на следующее. Если сигнал лг (/) имеет ограниченный спектр
(|Лг(/со)| = 0 при со>сотах), то, применяя фильтр низких частот, можно отфильтровать боковые составляющие спектра Х*(/со) и восстановить непрерывный сигнал на входе в дельта-импульсный модулятор. Очевидно, что такое восстановление непрерывного сигнала возможно лишь при выполнении условия: 2сотах <2к1Т (условие, при котором боковые составляющие спектра не «наезжают» друг на друга). Это условие, записанное в виде Г<�я/сотах, представляет собой математическую запись теоремы В. А. Котельникова, которая устанавливает, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть полностью восстановлен по его дискретным значениям при выполнении условия Т <�я/сотах, где со^ - максимальная частота в спектре непрерывного сигнала.
Рис. 4.19. Спектр модулированной последовательности дельта-импульсов