Потенциальная энергия упругой деформации

Для определения потенциальной энергии воспользуемся известным из теоретической механики началом возможных перемещений: если тело находится в состоянии равновесия, то сумма работ внешних И^/Внеш и внутренних И^/ВНугр сил равна нулю на любых возможных (согласованных со связями) перемещениях.

Заметим, что реальные перемещения — всегда возможные. При упругой деформации W^BHtm + И^/Внутр = 0. Потенциальная энергия П равна работе внутренних сил: П = 1У^внутр = — У^ВНСШ.

Потенциальная энергия не бывает отрицательной и численно равна площади диаграммы нагружения стержня (при упругой деформации площади треугольника) (см. рис. 4.3):

^ ^Nl N²l

С учетом А/ =- получаем II = -——. В общем случае нагруже;

ЕА 2ЕА

", N.(x)da

ния (JV ^ const) Я = 2,| .—.

/=1/ ^ltAi

Подсчитаем удельную потенциальную энергию упругой деформации /7₀, т. е. энергию /7, накопленную в единице объема V:

л.

П.= — = но /V// = о и А1/1 = е, тогда П_п = — = — (с учетом ⁰ V 2 А/ ⁰ 2 2 Е ^У

о = Ее).

Напряжения на наклонных площадках

Пусть стержень растягивается силой F. В поперечных сечениях стержня нормальные напряжения о — F/A, где площадь поперечного сечения А = bh. Найдем напряжения, действующие на площадке, наклоненной под углом, а к поперечному сечению (рис. 4.4). Площадь наклонной площадки А_а = bh/cosa.

Рис. 4.4. Усилия в наклонном сечении стержня при растяжении.

Согласно методу сечений мысленно рассечем стержень по наклонному сечению, отбросим правую часть и рассмотрим равновесие левой части. Неизвестное внутреннее усилие в наклонном сечении разложим на две составляющие: вдоль нормали к сечению N_a = Fcosa и по касательной к сечению Q_a = Fsina. Из условия равновесия отсеченной части их геометрическая сумма равна F. Напряжения на наклонной площадке:

При a = 0 о_а = о = о_тах, т_а = 0; при, а = 45° о_а=о/2, т_а=о/2 = т_тах; при a = 90° a_a = 0 = a_min, T_a=0=T_min. В дальнейшем будет показано, что т_тах всегда действует на площадках, наклоненных под углом 45° к площадкам, где действуют напряжения о_тах и o_mjn.