Получение характеристического уравнения по комплексному входному сопротивлению цепи

Характеристическое уравнение цени определяет вид свободной составляющей переходного процесса. Главный способ получения характеристического уравнения — по системе интегро-дифференциальных уравнений Кирхгофа цепи в послекоммутационном режиме.

Однако существует более короткий путь получения характеристического уравнения — без предварительной записи системы уравнений Кирхгофа. Он заключается в следующем:

• 1) предполагается, что в послекоммутационной цепи имеет место установившийся синусоидальный режим;
• 2) обрываем любую ее ветвь (за исключением ветви с источником тока) и рассматриваем схему относительно двух оборванных концов как активный двухполюсник;
• 3) принимаем интенсивности внутренних источников этого активного двухполюсника равными нулю (источники ЭДС закорачиваем, а источники тока обрываем). Приходим к пассивному двухполюснику;
• 4) записываем его комплексное входное сопротивление Z (Joо). При этом учитываем, что комплексные сопротивления элементов R, L, С равны Z_R = R Z, =ja>; Z_c = l/(/coC);
• 5) в выражении для Z (/co) производим подстановку /со —* р. Полученное

в результате такой подстановки выражение Z (j (a)j_m = Z (j>) приравниваем к нулю. Можно показать, что все корни уравнения Z (p) = 0 являются корнями характеристического уравнения цепи.

Если не рассматривать особых (вырожденных) случаев, то уравнение Z{p) = 0 можно считать характеристическим. Например, для цепи, изображенной на рис. 8.8, после коммутации комплексное входное сопротивление равно.

Подстановка /со —*? р дает уравнение.

которое совпадает с характеристическим уравнением (8.6).

Если послекоммутационная цепь является разветвленной, то в подавляющем большинстве задач рассматриваемая методика приводит к одному и тому же уравнению независимо от выбора ветви, подлежащей обрыву. Исключением является лишь ветвь с источником тока, поэтому подчеркнем еще раз: с целью получения характеристического уравнения цепи нельзя записывать комплексное входное сопротивление относительно ветви с источником тока.

Рассмотренный способ получения характеристического уравнения особенно удобен для разветвленных цепей. Его применение проиллюстрировано на примере 8.4.

Пример 8.4. Определит!) зависимости от времени тока в индуктивности i,(t) и напряжения па источнике тока м_аД/) после размыкания ключа в цепи, изображенной на рис. 8.12. Дано: /_к = const = 4 A; L = 10 10 ¹ Гн; С — 100 -10 ⁶ Ф; R = 20 Ом.

Рис. 8.12. Схема к примеру 8.4.

Решение

В момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, по условию (ключ замкнут) г, (О) = 0, и_с(0_) = 0.

Так как /_к = const, принужденный режим является стационарным: г_; ,_|р = /_к.

Для получения характеристического уравнения записываем комплексное входное сопротивление цепи, изображенной на рис. 8.12, относительно индуктивной ветви при разомкнутом ключе (ветвь с источником тока обрываем): Z (p) = = Lp + /(Ср). Приравнивая Z (p) нулю, приходим к характеристическому урав-, 1 1. нению /г + — = 0, его корни равны p_l2 = ±j .— = ±/co_CB = ±/1000 (с).

Итак, характеристическое уравнение цепи, изображенной на рис. 8.12, после размыкания ключа имеет два комплексно-сопряженных корня с нулевой вещественной частью p_l2 = ±jcо_св. Таким корням соответствует свободная составляющая вида.

здесь Л и ф — неизвестные постоянные.

С учетом выражения (8.12) полное решение для тока в индуктивности н его первая производная равны.

Начальные значения записанных функций времени находим из условия удовлетворения первому и второму законам коммутации:

Согласно второму уравнению системы (8.14) cosф = 0, ф = ±90°. Если выбрать Ф = +90°, то sin ф = 1 и из первого уравнения системы (8.14) получаем А = -/_к. Таким образом, имеем.

График функции i_L(t) представлен на рис. 8.13.

Рис. 8.13. График тока i_L(t), возникающего после размыкания ключа в цепи, изображенной на рис. 8.12.

Напряжение на источнике тока и_а6(?) выражаем через напряжения на резисторе и индуктивности:

Рассмотренный случай переходного процесса относится к идеализированным, так как его свободная составляющая не затухает. Если учесть неидеалыюсть индуктивности или конденсатора (резистивные потери), получаем затухающий процесс. Однако это усложняет решение задачи.