Классические модели для оценки справедливой цены производных финансовых активов

Теория оценки производных финансовых активов была положена фундаментальной работой Ф. Блэка и М. Шоулза^[1]. С помощью Р. Мертона в работе удалось через стохастический процесс, приписываемый цене акции, и ряд предположений о характеристиках опциона получить аналитическое выражение оценки европейского опциона как решение стохастического уравнения. Позднее за эту работу авторам была присуждена Нобелевская премия по экономике.

В дальнейшем подход на базе стохастических процессов развивался (существенные продвижения достигнуты на базе применения математической теории мартингалов), но многие опционы (включая американские) не поддаются описанию аналитическим выражением. Современный высокий уровень развития вычислительных мощностей и численных методов позволил получить решения для оценки опционов и при отсутствии компактной аналитической формулы.

Более популярные и доступные для понимания и использования в различных областях методы «биномиальных» (а также «триальных») деревьев возникли позже (в 1980;е гг.). Интересно, что эти методы являются дискретным приближением стохастических дифференциальных уравнений.

Трем американским экономистам: Дж. Коксу, Р. Россу и М. Рубинштейну1 удалось доказать, что биномиальная оценка опциона при определенных условиях в пределе равна оценке модели Блэка — Шоулза.

Основная идея оценки опционов заключается в возможности полной замены (дублирования) анализируемого производного актива неким портфелем (называемым портфелем-копией, репликативным, дублирующим портфелем). Дублирующий портфель составляется из базового актива и безрисковой ценной бумаги. Основная характеристика дублирующего портфеля — денежные потоки по нему полностью копируют потоки рассматриваемого производного актива. Вторая важная характеристика — дублирующий портфель является безрисковым.

Оценка финансовых опционов на сегодняшний день строится на трех фундаментальных работах:

• 1) модель Блэка — Шоулза 1973 г. (полученное с помощью Р. Мертона аналитическое решение стохастического уравнения для простого европейского опциона на акцию) (Black — Scholes model, BSM);
• 2) модель оценки Коха и Росса 1976 г. с предположением нейтральности к риску (replicating portfolio model)^[2],
• 3) биномиальный алгоритм оценки Кокса — Росса — Рубинштейна 1979 г. (Сох — Ross — Rubinstein model).

Ключевая посылка всех моделей — выгоды от опциона могут быть полностью продублированы через обладание другими активами, существующими па рынке. Опцион — это в некотором смысле выродившийся финансовый актив. Справедливая (равновесная) оценка опциона должна быть равна приведенной стоимости построенного замещающего портфеля (репликационного портфеля или портфеля-копии).

Рассмотрение логики оценки лучше начинать с биномиального подхода. Хотя он возник позже классической модели Блэка — Шоулза, но зато подкупает простотой и возможностью наглядной интерпретации.

• [1] Black F., Scholes М. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. 1973. May-June. P. 637−654.
• [2] Car J, Ross R., Rubinstein М. Opt ion Pricing //Journal of Financial Economics. 1979. № 7. P. 229−264.