Нахождение ускорения при естественном способе задания движения. 
Касательное и нормальное ускорения

При естественном способе задания движения ускорение точки находят через проекции его на естественные оси —.

касательную, нормаль и бинормаль. Естественные оси имеют начало в точке М и движутся вместе с ней по траектории (рис. 1.55).

Главной нормалью называется пря- _Рис 155 мая, расположенная в соприкасающейся плоскости. Если кривая расположена в плоскости, то главная нормаль лежит в плоскости кривой и обычно называется нормалью. Она всегда направлена в сторону вогнутости кривой.

Бинормаль перпендикулярна соприкасающейся плоскости. Поскольку вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, то его проекция на бинормаль равна нулю.

Соприкасающаяся — плоскость, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки.

Найдем проекции ускорения на касательную и нормаль, обозначая проекции вектора dV на эти оси dV_z и dV_n:

Отложим векторы V и V, (рис. 1.56, а) из общего начала, dV = V_X-V (рис. 1.56, б).

При бесконечно малом угле смежности dtp фигуру DBCA можно рассмотреть как прямоугольник. Отсюда:

Рис. 1.56.

Поскольку предел отношения дуги к хорде равен 1, то AD рассматриваем как элементарную дугу радиуса МА. Тогда проекция dV на нормаль dV_n: dV_n = AD = MA dq> = Vdq> [ 1, с. 32].

Подставим найденные значения dV, и dV_n в формулу (1.33):

Окончательно:

-о+.

Рис. 1.57.

Таким образом, проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения скорости или второй производной от дуговой координаты (расстояния) s по времени. Проекция ускорения на нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории р в данной точке кривой. Величины а, и а_п называются касательным и нормальным ускорениями точки (рис. 1.57).

Частные случаи: а) Прямолинейное движение Траектория — прямая линия, у которой р = оо и полное ускорение точки равно только одному касательному ускорению.

Касательное ускорение характеризует изменение числового значения скорости.

б) Равномерное криволинейное движение _r/ dV _п

V = const, следовательно, а_х = —— = 0 и все ускорение точки равно.

dt

V²

только одному нормальному а = а"= —.

Р При этом вектор а все время направлен по нормали к траектории точки. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению.

Равномерное прямолинейное движение я" = = 0, а значит, я = 0. Это единственное движение, в котором ускорение точки все время равно нулю.

Найдем закон равномерного прямолинейного движения:

В начальный момент времени 1 = 0 точка находится от начала отсчета на расстоянии S_t)

Если =0, то S есть путь, пройденный за время t. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, пропорционален времени, а скорость точки равна отношению пути ко времени S = Vt, V = —.

Равнопеременное движение точки Равнопеременным движением точки называется такое движение, при котором касательное ускорение остается постоянным я, = const. Найдем закон равнопеременного движения, считая, что в начальный момент времени t = 0 дуговая координата равна S₀ и начальная скорость равна У_п.

Это и есть закон равнопеременного движения точки.

Если при криволинейном движении модуль скорости возрастает, то это движение ускоренное, а если убывает, то замедленное. Так как изменение модуля скорости характеризуется касательным ускорением a_z, то движение будет ускоренным, если величины V и а. имеют одинаковые знаки, и замедленным, если разные.

В частности, при равнопеременном движении, если в равенстве V = V_n+a_rt, Vий, имеют одинаковые знаки, то движение будет равноускоренным, а если разные знаки, то равнозамедленным.