Частотный анализ периодических процессов в линейных цепях электрических устройств

В результате изучения данной главы студенты должны: знать: принцип действия трансформатора, понятие и формы записи комплексной передаточной функции;

уметь: рассчитывать амплитудные и фазовые частотные характеристики электрических цепей;

владеть: основами расчета электрической цепи с синусоидальными источниками.

Расчет цепей синусоидального тока

Для питания промышленного оборудования и бытовых приборов преимущественно применяются источники синусоидального напряжения

В линейных электрических цепях токи также будут синусоидальными. Рассмотрим подход к расчету на примере схемы, содержащей индуктивность L и резисторы г и R (рис. 3.1, а).

Для схемы справедливо дифференциальное уравнение.

где u (t) — входное напряжение.

Рис. 3.1. Эквивалентная схема (а) и графики напряжений для нее (6).

Вследствие линейности преобразований ток также будет изменяться по синусоидальному закону с частотой со:

Подстановка решения в уравнение дает.

Тригонометрические преобразования приводят к следующим выражениям для амплитуды и начальной фазы тока:

Полученные соотношения для тока позволяют записать другие величины, например выходное напряжение.

Входное и выходное напряжения будут отличаться амплитудами и иметь фазовый сдвиг (рис. 3.1, б).

С использованием вычисленных значений токов и напряжений можно рассчитать энергетические параметры цепи. Зависимость от времени мощности в нагрузке определится соотношением.

Приведенное выражение содержит постоянную составляющую, называемую активной мощностью, которую можно вычислить как среднее значение мгновенной мощности за период Т= 2тт/со:

С использованием понятия среднеквадратичного, или действующего, значения тока 1= (1 /Т)i²(t)dt = 7_m/V2 для вычисления активной мощности получаем формулу Р = RI².

Потребляемую нагрузкой активную мощность вырабатывает источник напряжения. Зависимость от времени мгновенной мощности, отдаваемой источником, определяет соотношение.

содержащее постоянное значение Р_и и переменную составляющую (рис. 3.2).

С использованием найденных значений I_m и ц/ посредством тригонометрических преобразований для активной мощности получим выражение

из которого следует соотношение Р_и = P_r + P_R, отражающее баланс активных мощностей в рассматриваемой цепи. Изменяющаяся.

Рис. 3.2. Напряжение, ток и мощность источника.

с двойной частотой мощность пульсирует, т. е. часть периода идет в нагрузку, а в другую часть возвращается в источник.

Таким образом, анализ процессов в электрических цепях с синусоидальными токами и напряжениями заключается в расчете амплитуд и начальных фаз искомых величин с последующим вычислением требуемых характеристик. Решение уравнений цепи с синусоидальными источниками требует выполнения многочисленных громоздких преобразований синусоидальных функций.

При описании представления электрических сигналов указывалось, что синусоидальные величины можно представить экспоненциальными функциями времени U_m(J (o)e^^wt+Q упрощающими выполнение математических операций. При этом дифференциальные соотношения для компонентов сводятся к алгебраическим операциям с экспоненциальными функциями:

• • для резистора U_mR(Ju>) = RI_m(J (x>);
• • для индуктивности U_rnL(ja) =jLI_m(j (o);
• • для емкости I_mC(Jсо) =jCU_m(j&).

В установившемся режиме во все выражения напряжений и токов входит множитель е^)Ы, отражающий их изменение во времени с постоянной частотой. При расчете его можно не записывать, ограничившись фиксацией комплексного числа U_m = U_me^_y содержащего данные об амплитуде и начальной фазе синусоидальной функции и называемого комплексной амплитудой.В некоторых случаях удобнее оперировать с комплексным действующим значением U= J7_W/V2, отличающимся только масштабом.

В веден песком п л е кс н ы х сопротивлений Z = U_m/I_m и проводимостей Y = IJU_M приводит систему уравнений линейной электрической цепи с синусоидальными источниками к комплексной форме.

подобной уравнениям линейной резистивной цепи. Из формальной аналогии записи уравнений следует применимость всех методов расчета, приведенных для линейных резистивных цепей.

Расчет цепи с синусоидальными источниками частоты методом комплексных амплитуд содержит следующие операции:

• • вычисление комплексных сопротивлений ветвей для расчетной схемы;
• • определение комплексных изображений искомых токов и напряжений;

• переход от найденных комплексных амплитуд к синусоидальным функциям по формуле

В качестве примера рассмотрим расчет напряжений в линейной схеме с источниками синусоидальных тока и напряжения (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Линейная цепь с синусоидальными источниками.

Перейдем к комплексным амплитудам V_m = 50 ВJ_m = е~^² А и вычислим значения комплексных сопротивлений:

Сформируем узловые уравнения для потенциалов ф_/7/1 и ф^:

Значения проводимостей:

Выполнение вычислений дает значения.

Изображения токов ветвей несложно рассчитать по известным потенциалам. Например, ток в резисторе R:

Остальные токи вычисляют аналогично.

Для перехода к функциям времени преобразуем комплексную амплитуду тока в экспоненциальную функцию времени /4(700) = = 4,43е^/(о)*'⁷⁴ * А мнимая часть которой дает ответ.

Для анализа энергетических параметров цепей синусоидального тока при их расчете с использованием комплексных амплитуд введено понятие комплексной мощности

При комплексных значениях напряжения U = UeJ^Qu и тока I — 1е№' введение комплексно-сопряженного значения тока I* = 1е ^-;0' при перемножении дает выражение для фазового сдвига |/ = 0_М — 0,, позволяющее вычислить активную мощность Р = UIcos у и реактивную Q = UI sin |/. В результате комплексную мощность записывают в виде

Модуль комплексной мощности S = IJI, называемый полной мощностью, отражает максимально возможное значение активной мощности.

В изолированной электрической цени с синусоидальными источниками выполняется баланс комплексных мощностей, а также активных и реактивных составляющих:

Понятие комплексной мощности нашло применение при анализе передачи энергии в электрических устройствах с источниками синусоидальных напряжений и токов. Можно, например, получить условия передачи активной мощности от генератора к нагрузке (рис. 3.4, а).

Представим генератор последовательной схемой активного двухполюсника с источником напряжения V и комплексным сопротивлением Z_BT, а нагрузку — комплексным сопротивлением Z_H (рис. 3.4, б). Предположим, что нагрузка представляет собой последовательное соединение R, L, С (рис. 3.4, в). Комплексное сопротивление нагрузки запишем в форме.

Рис. 3.4. Структура системы (я), ее схема (б) и эквивалентная схема нагрузки (в) где обозначено X_L = соL и Х_с = 1/(соС) — модули индуктивного и емкостного сопротивлений;^ = V^T.

Общее выражение для комплексной мощности пассивного двухполюсника имеет вид.

Из уравнения схемы V = (Z_BT + Z,)/ несложно получить выражение активной мощности в нагрузке.

Приведенное соотношение позволяет сформулировать условия передачи максимальной мощности от источника в нагрузку: R_u = = /?_вт и Х_н = -Х_вт, при которых ее активная мощность определяется формулой Р_тах = V²/(AR_u).

Основанные на применении комплексной мощности формулы, описывающие преобразования энергии в цепях синусоидального тока, широко используются при анализе характеристик электрических аппаратов (электромагнитов, трансформаторов и др.).

Принцип действия трансформатора основан на эффекте передачи энергии за счет магнитной связи между обмотками. Рассмотрим эквивалентную схему двух идеальных индуктивностей L_{ и Ь_ъ связанных общим магнитным потоком, что отражено наличием взаимной индуктивности М. Наличие связи между индуктивностями катушками показывают стрелкой и отмечают одноименные зажимы (начала) обмоток (рис. 3.5, а).

Приведенной эквивалентной схеме соответствует система уравнений

Для синусоидальных величин уравнения записывают в комплексной форме:

Рис. 3.5. Схема связанных индуктивностей (а), трансформатор (б).

и его модель (в) Баланс комплексных мощностей в схеме с индуктивными элементами необходимо записывать с учетом магнитных связей:

Вычислим определяемые магнитной связью комплексные мощности:

Из полученных выражений следуют соотношения для активной и реактивной мощностей:

Очевидно, что посредством индуктивной связи может передаваться активная мощность, однако ее суммарное значение.

Трансформатор является электротехническим устройством, предназначенным для передачи электромагнитной энергии между индуктивно связанными ветвями без непосредственного (гальванического) контакта. Схема линейного двухобмоточного трансформатора содержит первичную и вторичную обмотки, эквивалентные схемы которых описываются выражениями = R + jX Z₂ = R‘2 +jX₂; Z_m =jX_M. К вторичной обмотке подключена нагрузка Z_H = R_n + jX_H (рис. 3.5, б). Уравнения трансформатора имеют вид.

Из системы можно определить комплексные изображения искомых величин и найти связь входного напряжения с током:

Входящее в полученное соотношение комплексное входное сопротивление содержит собственное сопротивление входного контура Zj и приращение входного сопротивления за счет влияния магнитной связи, называемое вносимым сопротивлением Z_BH, составляющие которого имеют вид.

где |Z|² = (/?₂ + R_H)² + (Х₂ + Х_п)² — квадрат модуля полного сопротивления вторичного контура.

Таким образом, наряду с передачей мощности трансформатор преобразует значения нагрузочного сопротивления. Полученные соотношения дают возможность сформулировать условия передачи в нагрузку максимального значения активной мощности: R_BH =

Х_ш = -Xl

Приведенные уравнения трансформатора можно интерпретировать как уравнения четырехполюсника с Z-параметрами и на основе этого построить его эквивалентную схему (рис. 3.5, в). При использовании уравнений четырехполюсника с другими параметрами несложно получить набор эквивалентных схем.