Принятие решения в условиях неопределенности

Лицо, принимающее решение, имеет информацию стохастического («модельного» в терминах вероятностных моделей) характера о поведении среды. В данном контексте возможны следующие варианты описания состояния среды:

• 1) случайное состояние среды описывается вероятностным пространством (5, 3, Р). Это так называемая классическая «вероятностная тройка». Здесь 3 — а-алгебра событий, т. е. множество случайных событий с системой замкнутой относительно взятия дополнения, счетных объединений и пересечений. Таким образом это позволяет нам рассматривать, как «точечные» состояния среды, так и «множественные». На событиях из а-алгебры 3 предполагается заданной вероятность (вероятностная мера) Р;
• 2) распределение вероятностей на множестве состояний среды 5 неизвестно, но его можно оценить статистически или посредством эксперимента (так называемый байесовский подход);
• 3) известно множество состояний среды 5, но нет никакой информации об этом множестве, дающей возможность оценить вероятностные свойства этого множества. Задачи такого типа называются задачами принятия решений в условиях полной неопределенности. В данной ситуации формулируется некоторая гипотеза о поведении среды, на основании этой гипотезы строится вероятностное пространство и применяется минимаксный (или максиминный) подход. В том случае, когда множество состояний среды 5 конечно, а вероятность на 5 так или иначе требуется ввести, то обычно каждому элементу из? присваивается одинаковая вероятность;
• 4) случайность среды определяется целенаправленными действиями контрагентов. В таком случае говорят о принятии решения в теоретико-игровых условиях. Состояние среды здесь меняется в зависимости от информации о действиях контрагента. Типичный пример, когда один контрагент скупает актив, а его оппонент решает вопрос: скупка идет, чтобы поднять цену с целью дальнейшей продажи (игра на повышение), или же от реального спроса.

Приведем два примера задач принятия решений для двух разных моделей возможных состояний среды 5.

Пример: задача принятия решений в условиях определенности — задача линейного программирования или задача оптимальной организации производства. Множество состояний среды состоит из одного элемента.

Предположим, что для производства некоторой продукции необходимо т видов сырья. На имеющемся у предприятия оборудовании можно реализовать п способов производства, различающихся между собой составом сырья, требуемого для производства единицы продукции.

Будем нумеровать способы производства индексом ] = 1,2, …, п, а виды сырья индексом / = 1,2,…, т. Обозначим через а~ е 9? количество сырья /-го вида, необходимое для получения единицы продукции7-м способом производства. Запасы сырья ограничены величинами Ь

Единица продукции, произведенная 7-м способом производства, приносит прибыль в размере с_} некоторых условных единиц (у.е.). Требуется организовать производство, чтобы получить максимальную прибыль.

Множество альтернатив X для такой задачи будет состоять из векторов х = (х_{, х₂,…, х_п) е 9 Г, называемых планом производства. При этом имеется ряд ограничений. Во-первых, компоненты векторах должны быть неотрица;

п

тельными числами. Во-вторых, величины X представляющие собой ко;

7 = 1

личества ?-го сырья, должны нс превосходить значений е 9?, / = 1, 2,т. Таким образом, множество допустимых альтернатив X будет иметь вид.

В качестве целевой функции возьмем прибыль, которую может принести план производства х = (х_{, х₂,…, х_п) е 9?" ,.

Таким образом, решением данной ЗПР будет нахождение такого плана производства (оптимального плана) х₀ = (х_{, х₂,…, х_п) е 9?", который максимизирует прибыль при заданных ограничениях, т. е.

Заметим, что данная задача принятия решений может быть рассмотрена и в условиях, когда искомый план (множество планов) должен обеспечивать получение прибыли ЛПР не меньше некоторого наперед заданного (критического) значения с* е 9?, т. е. оптимальный план производства х₀ = = (х, х₂,…, х_п) е 9?" должен удовлетворять следующему неравенству:

Пример: задача принятия решений в условиях вероятностной неопределенности — задача оценки эффективности инвестиционного портфеля. Множество состояний среды состоит из бесконечного, несчетного числа элементов (континуум мощности). На множестве состояний явно задана вероятность.

Пусть имеется инвестиционный портфель, содержащий два актива. Доходности от вложения единицы капитала для данных активов описываются случайными величинами %₂, которые, вообще говоря, не являются стохастически независимыми.

Пусть ^ имеет равномерное распределение на отрезке [0, 12], т. е. доходность первого актива может быль любой в пределах от 0 до 12%. Пусть %₂ может принимать значения 2 или 10% с вероятностями, равными 0,5, т. е. второй актив может с одинаковыми вероятностями принести либо 2%, либо 10%.

Инвестор хочет распределить единицу имеющегося у него капитала между этими активами оптимальным в некотором смысле образом.

В данной постановке задачи состояние среды является двумерным вещественным пространством 5 = 9?² с заданной вероятностной структурой (9?², З², Р), где З² — борелевская ст-алгебра, Р — совместное распределение вектора = (?_р ^₂). Множество альтернатив X имеет следующий вид:

Множеством исходов решения /? будет множество значений случайной величины У являющейся средневзвешенной доходностью портфеля

Таким образом, возникает необходимость сравнения случайных доходностей. Зададим оценочную функцию ср, например, как математическое ожидание случайной средневзвешенной доходности.

Тогда более предпочтительным решением будет выбор такого векторах, для которого среднее значение больше.

Множество наилучших решений может строиться либо как множество векторов х, при которых средняя доходность портфеля будет максимальной. Очевидно, что в данном числовом примере, так как выражение для математического ожидания ?(У) = х, • 6 + х₂— 8,5 линейно зависит от (х, х₂), то следует взять (х, = 0, х₂ = 1).

Не менее распространенный критерий выбора решения, когда средняя доходность портфеля будет превышать некоторое наперед заданное пороговое значение М например, М = 7%:

где Я* — множество «хороших» решений, если либо.

В этом случае приемлемым управленческим решением будет всякая пара (х, х₂), такая, что