Введение в анализ временных рядов

В результате изучения данной главы студент должен: знать

• • особенности анализа временных рядов;
• • определения стационарных процессов;
• • основные модели анализа временных рядов (AR, МЛ, ARMA);
• • понятия ложной корреляции и коинтеграции; уметь
• • отличать стационарные ряды от нестационарных;
• • отличать ложно коррелированные ряды от коинтегрированных; владеть
• • навыками проведения тестов на стационарность и коинтеграцию.

Специфика временных рядов

Любой процесс, будь то динамика физической величины или поведение экономического индикатора, представляет собой изменение значения некоторой переменной во времени. Одни переменные ведут себя достаточно предсказуемо (среднюю температуру июля в Москве можно предсказать с высокой точностью), иные случайно колеблются внутри некоторого коридора (уровень безработицы), а некоторые процессы ведут себя безо всякой видимой закономерности, причем в любой момент минимальное изменение условий может привести к катастрофическим изменениям процесса.

Итак, временной ряд — это ряд некоторых числовых величин, измеренных в последовательные моменты времени. Существует принципиальное различие между анализом пространственных выборок (cross-section) и временных рядов (time series): наблюдения в последних строго упорядочены во времени, в то время как порядок наблюдений в перекрестных выборках можно менять произвольно. Переставлять наблюдения во временных рядах некорректно, так как из-за этого меняется закономерность развития ряда. По той же причине во временных рядах нельзя удалять отдельные наблюдения: если в одномоментной кросс-секционной базе данных какие-то точки являются выбросами или закодированы с ошибкой, то тогда их удаление может улучшить качество подгонки оцениваемой модели, во временных рядах приходится работать со всем временным диапазоном без возможности удалить ухудшающие модель наблюдения (исключениями являются случаи, когда нестандартные наблюдения находятся в начале или конце временного ряда).

Определение 12.1. Случайный процесс — процесс, реализациями которого в каждый момент времени являются случайные величины.

Вес процессы в окружающем нас мире можно разделить на четыре типа:

• 1) непрерывное время, непрерывные значения случайной величины. Простой пример — координаты движения самолета;
• 2) непрерывное время, дискретные значения случайной величины. Пример — количество заявок на покупку акций определенной компании;
• 3) дискретное время, непрерывные значения случайной величины. В эту категорию попадает большинство исследуемых экономических процессов: статистические органы публикуют информацию через определенные промежутки времени, а показатели могут принимать значения, определенные с произвольной точностью. При дискретном времени наблюдения могут быть разделены как одинаковыми, так и различными по продолжительности интервалами. Пример такого ряда с дискретным временем — значения годовой инфляции страны за несколько лет;
• 4) дискретное время, дискретные значения случайной величины. В эту категорию попадают показатели, связанные с неделимыми объектами, изменение которых происходит только в определенные моменты. Примером может послужить численность группы студентов в течение всего периода наблюдения (частота дискретизации — 1 день, минимальное изменение — 1 человек).

В некоторых случаях количество значений дискретной случайной величины столь велико, что можно полагать его непрерывным: у предприятия, выпускающего авторучки, отгрузка исчисляется миллионами, а ошибка измерения и несущественность для предприятия одной авторучки позволяет считать выпуск ручек непрерывной величиной.

В дальнейшем мы делаем допущение, что изменение показателей происходит через одинаковые интервалы времени. Так, например, считается, что показатели инфляции в феврале и марте разделены таким же отрезком времени, как показатели в марте и апреле, несмотря на то что в действительности длительности равны 28 и 31 дням.

В ходе анализа временных рядов мы будем предполагать, что значения исследуемой случайной величины являются непрерывными, а время является дискретным.

Везде далее мы будем отождествлять понятие случайного процесса и временного ряда. Кроме того, если для данных типа cross-section обычно делается предположение о независимости этих случайных величин, то для временных рядов предположение о независимости обычно не выполняется, что требует применения специальных статистических методов для их анализа.