Графическое решение игры

Решению игры 2×2 можно дать удобную геометрическую интерпретацию.

Возьмем отрезок оси абсцисс единичной длины (рис. 12.2.6). Левый конец отрезка изображает стратегию Л, правый конец — стратегию А.,; внутренние точки отрезка представляют собой смешанные стратегии стороны А. Вероятность р, стратегии Л, равна расстоянию от точки Р* до правого кон;

Рис. 12.2.6. Графическое решение игры за сторону А.

ца отрезка, а вероятность р₂ стратегии А₂ — расстоянию от точки Р* до левого конца отрезка. В точках Л, и А₂ восстановим два перпендикуляра к оси абсцисс — г/, и у₂. На оси 0у, будем откладывать выигрыш при чистой стратегии Л, а на оси у₂ — выигрыш при чистоте стратегии Л₂. Если сторона В применяет стратегию В, то выигрыш стороны Л при стратегии Л, будет <�х_и, при стратегии Л₂ — а₂₁. Точку с координатой а_и на оси 0у_х и точку с координатой а_2| на оси 1 у₂ соединим прямой. Любая смешанная стратегия стороны Л даст выигрыш, равный ординате точки на отрезке В_ХВ_Х, исключая его концы.

Рассмотрим более сложную ситуацию: w = 2, «= 4, ||д, 11= ^ ® f .

^{11 ч}" 9 5 2 1.

Тогда графическое решение игры для данного примера имеет вид, показанный на рис. 12.2.6.

Аналогично строится прямая В., В₂(рис. 12.2.7). Так как сторона В стремится минимизировать свой проигрыш, то нижней границей выигрыша стороны Л будет ломаная линия B_{NB.,. Стремясь максимизировать свой минимальный выигрыш, сторона Л выберет оптимальную стратегию Р* = = {Р, Р₂}, соответствующую точке N, имеющей наибольшую ординату на ломаной B_tNB.,. Эта ордината представляет собой цену игры v, а точка ее пересечения с осью абсцисс делит отрезок 01 в отношении p₂/p_v Для определения оптимальной стратегии Q = {<�у, q.,) стороны В строится график в стратегиях A_v Л₂, на котором ищут минимум верхней границы проигрыша стороны В.

Рис. 12.2.7. Графическое решение игры за сторону В.

На основании приведенной выше теоремы о числе существенных стратегий игры 2 х п и т X 2 могут быть сведены к игре 2×2, так как число существенных стратегий каждой стороны равно двум. Геометрический способ решения игры 2 X п за сторону В показан на рис. 12.2.7.

На графике строятся линии стратегий В_г Для определения существенных стратегий стороны В среди точек пересечения линий ее стратегий выбирается точка N, имеющая максимальную ординату. Точка определяет существенные стратегии стороны В (в данном случае это стратегии В₃ и В_л)_у а ордината точки В представляет собой цену игры v. В рассмотренной ситуации игра 2 X 7? сведена к игре 2×2, которая решается элементарно. Решение игры т х 2 проводится аналогично, с той разницей, что строится верхняя граница проигрыша, на которой ищут минимум.