Кинетическая и полная энергии в релятивистской механике. 
Энергия покоя. 
Релятивистский инвариант

Основное уравнение релятивистской динамики (8.30) позволяет получить выражение для кинетической энергии. Пусть на тело действует сила Fи совершается работа dA, приводящая к изменению кинетической энергии dT:

Интегрируя, получим для релятивистской кинетической энергии:

При разложении в ряд Тейлора квадратного корня из формулы (8.32) при v с можно получить формулу для классической кинетической энергии.

Из формулы (8.32) видно, что кинетическая энергия тела равна разности, зависящей от скорости полной энергии

и не зависящей от скорости энергии покоя

Последнее соотношение выражает принцип эквивалентности массы и энергии Эйнштейна. Многочисленные физические эксперименты (например, в области ядерной физики) показывают, что закон сохранения энергии выполняется именно для полной энергии системы тел. При этом кинетическая энергия может переходить в массу, и наоборот. Так, при неупругом столкновении шаров часть кинетической энергии переходит в тепловую, что ведет к небольшому увеличению массы шаров. С учетом этого замечания можно показать, что для неунругого столкновения тел (8.26) — и для более сложных процессов — выполняются как закон сохранения импульса, так и закон сохранения полной энергии.

Найдем теперь связь между полной энергией и импульсом. Из формул (8.33) и (8.28) имеем.

Получаем соотношение.

Выражение Е² — р²с² не зависит от выбора системы отсчета и называется релятивистским инвариантом. Этот инвариант сохраняется не только для одной частицы, но и для системы частиц. Он представляет собой квадрат 4-вектора импульса.

В релятивистской механике часто используется система единиц, в которой скорость света равна 1. В этой системе инвариант имеет простой вид.

Из формул (8.33) и (8.28) несложно вывести еще одну (наряду с (8.36)) ключевую формулу релятивистской динамики.

Итак, из экспериментально установленного факта о неизменности скорости света при переходе из одной системы в другую следует, что скорость любого тела не может превышать скорости света с. При этом некоторые частицы (фотон, нейтрино) двигаются со скоростью с. Однако из формул.

(8.33) и (8.28) следует, что при этом их масса должна быть равна нулю.

В заключение еще раз подчеркнем, что из всех релятивистских формул при э"с получаются классические аналоги. По этому поводу в науке сформулирован принцип соответствия: любая новая физическая теория должна в старом пределе воспроизводить результаты старой проверенной теории.