Нормальная подгруппа и факторгруппа

Определение нормальной подгруппы, примеры

Элемент группы далеко не всегда перестановочен с другими элементами этой группы. Легко видеть, что множество всех элементов группы, перестановочных с каждым элементом группы, является подгруппой. Введем название для этой подгруппы.

Определение 1.12. Множество всех элементов группы G, перестановочных с каждым ее элементом, называется центром группы и обозначается C (G).

Таким образом, C (G) = {с е G | Vg е G cg = gc}. Понятно, что абелева группа совпадает со своим центром. В группе S₃ центр является единичной подгруппой.

Если Я — C (G), то для любого элемента g е G имеет место равенство gH = Hg. Введем обобщающее понятие.

Определение 1.13. Подгруппа Я группы G называется нормальной, если она перестановочна с любым элементом группы, т. е. gH = Hg для любого g е G.

Обозначение: Н =4 G. Читается: Я — нормальная подгруппа группы G.

Равенство gH = Hg совсем не означает, что gh = hg для любого h е Я. Оно означает лишь, что для любого элемента gh е gЯ существует элемент h_x е Я, такой что gh = h^g. Например, в равенстве (12)Л₃ = Л₃(12) левая часть есть множество.

а правая часть есть множество.

Видим, что (12) • (123) = (13) = (132) • (12), и это демонстрирует равенство gh = h^g при g = (12), h = (123), Я_г = (132).

Примеры.

• 1. В коммутативной группе всякая подгруппа нормальна.
• 2. В любой группе единичная подгруппа и сама группа нормальны.
• 3. Центр группы C (G) является нормальной подгруппой.
• 4. В группе S₃ возьмем подгруппу Н_х всех подстановок, оставляющих символ 1 на месте. Тогда Н_х не является нормальной подгруппой, так как (12) • Н_х * Н₁ ? (12).
• 5. Докажем, что А_п =4 S_n для любого п. Пусть g е S_n. Если g — четная подстановка, то gA_n = А_п = A_ng. Пусть g — нечетная подстановка. Тогда смежный класс gA_n состоит из нечетных подстановок и всякая нечетная подстановка содержится в gA_n (докажите). Следовательно, разложение группы S_n на левые смежные классы по подгруппе А_п имеет вид S_n = А_п и gA_n. Аналогично получаем разложение группы S_n на правые смежные классы: S" = A_n u A_ng. Отсюда делаем вывод, чтоgA_n = A_ng. Следовательно, А_п =4 S_n.

Замечаем, что в этом доказательстве решающую роль сыграло то обстоятельство, что |S": А"| = 2. Докажем, что в произвольной группе подгруппа Н индекса 2 является нормальной. В самом деле, по условию, для любого g е G имеем G = HugH = Hu Hg. ОтсюдаgH = Hg. Следовательно, Н⁴ G.

Чтобы сформулировать критерий нормальной подгруппы, введем одно новое понятие, играющее в теории групп важную роль.

Определение 1.14. В группе G элемент а е G называется сопряженным с элементом Ъ е G, если существует элемент# е G, такой что а = g~'bg.

Теорема 1.9 (критерий нормальной подгруппы). Подгруппа Н группы G является нормальной тогда и только тогда, когда она вместе с каждым своим элементом содержит и всякий сопряженный с ним элемент:

Доказательство. (=>) Пусть H^.GnheH, geG. Докажем, что g~^hg е Н. Используя определение нормальной подгруппы, получаем hg е Hg = gH. Следовательно, существует элемент h] е Я, такой что hg = gh₁. Отсюда g^hg = h_: е Н.

(<=) Пусть из того, что h е Н, g е G, следует, что g~^yhg е Н. Докажем, что gH = Hg. Произвольный элемент из Hg имеет вид hg, где he Н. Имеем: hg = g ? g-^lhg = g^ е gH, где g-'hg = hj e e H. Следовательно, Hg c gH. Аналогично доказывается обратное включение. Таким образом, gH = Hg для любого g е G, т. е. Н 4 G.

Рассмотрим примеры.

• 1. С использованием критерия нормальной подгруппы совсем просто доказывается нормальность подгруппы четных подстановок А_п в группе всех подстановок п символов S_n. В самом деле, если а е А," то для любой подстановки 5 е S" подстановка s^_1as является четной, а значит, принадлежит А, Следовательно, А_п =4 S_n.
• 2. Докажем, что в группе G = GL_n(M) обратимых квадратных матриц порядка п над полем R подгруппа Я, состоящая из матриц с определителем, равным единице, является нормальной. Пусть матрица Л е Я, это значит, что ее определитель |А| =1. Для любой матрицы В е G имеем

Следовательно, В^АВ е Н и Н =4 G.

Теорема 1.10. Пересечение двух нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа.

Доказательство. Пусть Н_г и Я₂ — нормальные подгруппы группы G и Я=Н± п Я₂. По теореме 1.2 Я есть подгруппа группы G. Для любых h е Н и g е G имеем g~^hg е Я, и g~^lhg е Н₂. Следовательно, g~^]hg е Н₁пН₂=Н. Теорема доказана.