Понаеромоторная сида, испытываемая замкнутым током во внешнем магнитном поае. 
Потенциальная фуншия тока

Важную роль в анализе процессов электромеханического преобразования энергии играет тот факт, что электрические и магнитные поля являются ситовыми ити потенциальными полями. Это свойство позволяет найти пондеромоторные силы^[1], действующие на заряды или контуры токов через частные производные энергии, запасенной в электрических или магнитных полях, что, как правило, значительно проще непосредственного определения силы. Указанное преимущество особенно заметно при сложной конфигурации контуров токов, когда магнитные поля являются неоднородными в пространстве.

Дтя электрических полей потенциальная природа пондеромоторных сил обычно приводится в соответствующих курсах физики и электротехники. Заметим, что аналогия между силой Кулона и силой тяготения Ньютона уже предполагает потенциальную природу сил электрического поля.

Несколько иное положение с пондеромоторными силами магнитного поля, которые определяются как сумма сил, действующих на каждый элемент замкнутого контура, по которому протекает ток, т. е. поиск силы предполагает известным закон изменения индукции вдоль контура тока, а это зачастую представляет довольно сложную самостоятельную задачу. Однако благодаря тому, что природа сил магнитного поля является потенциальной, решение поставленной задачи удается существенно упростить, сводя ее к поиску магнитного потока через контур тока, т. е. к задаче поиска электродвижущей силы.

Покажем это на примере поиска поидеромоторной силы, действующей на контур тока, помещенный в магнитное поле, которое создается внешним источником (рис. 1.2). Ограничимся случаем, когда ток контура можно считать линейным, т. е. сечение тока мало до рассматриваемых точек поля. Будем также считать, что магнитное поле и ток контура при перемещении последнего поддерживаются постоянными за счет источника питания.

Пондеромоторная сила, действующая на элемент длины контура сЛ контура тока БЛ, определяемая в соответствии с известным законом Ампера [ 1 ]

совершает работу при виртуальном перемещении последнего на 5q, определяемую скалярным произведением.

где q, — независимая переменная, вдаль которой действует составляющая сила fmi.

Обшую работу, связанную с перемещением всех элементов контура из положения L в положение /_' (рис. 1.2), получим как интеграл по замкнутому контуру.

Рис. 1.2. К определению пондсромоторной силы.

Возникший интеграл, определяющий совершецнную работу, представляет магнитный поток через боковую поверхность, описываемую при перемещении элементов контура на 8q (это, напомним, малая величина). Порядок сомножителей, определяющих элемент боковой поверхности.

выбран таким, что направление вектора 8S (т. е. направление нормапи k5S) образует с направлением тока правовинговую систему (рис. 1.2). Таким образом, совершаемую работу можно записать в следующем виде:

где интегрирование распространяется по всем элементам 85 поверхности S, описанной контуром тока L при перемещении его точек на расстояние 8q в положение L', а В" — нормальная составляющая индукиии. Следовательно, интеграл в выражении работы представляет магнитный поток через боковую поверхность.

Непосредственный поиск возникшего интеграла представляет технически сложную задачу, связанную с расчетом картины магнитного поля, окружающего проводник. Однако его можно найти значительно проще, сети воспользоваться условием непрерывности магнитного потока. Очевидно, что магнитный поток через боковую поверхность, описанную контуром тока при переходе из положения.

L в L найдется как разность потоков Ф/. и Ф//, проходящих через площади Sl и Sr, которые опираются на контур тока L, например:

где В'_п — нормальная составляющая индукции к поверхности dS_L, следовательно, магнитный поток через боковую поверхность будет равен.

и, таким образом, работа пондеромоторных сил оказывается равной.

т. е. она равна произведению тока на изменение (вариацию) магнитного потока через контур тока. Если при перемещении контура поток через него не изменяется, то работа этих сил равна нулю. При этом обратим внимание, что она, совершаемая работа, не зависит от траектории движения контура, а определяется только начальным и конечным положениями последнего.

Приведенное положение легко наблюдать, если вспомнить, что символ «5» (вариация) по отношению к координатам ведет себя как полный дифференциал «В». Поэтому если представить через некоторые обобщенные координаты q, положение контура в магнитном поле, то в соответствии с приведенным замечанием можно представить.

(здесь и далее индекс L будет опущен), тогда уравнение для работы (1.3) соответственно будет также полным дифференциалом:

Интегрируя обе части уравнения (1.5) (вспоминая об аналогии символов «6» и «г/»), найдем, что работа, совершаемая пондеромоторными силами F, при переходе контура из положения Ц до положегшя L₂

определяется криволинейным интегралом, значение которого не зависит от пути перехода из положения L, до положения L₂, так как подынтегральное выражение есть полный дифференциал функции W_m от перемещений с/,. Таким образом, сила, определяемая (1.6), является силой потенциальной природы, о чем говорит совершаемая этими силами работа.

Из уравнения (1.5) следует, что сила F" действующая вдоль координаты (/" равна.

Заметим, что между механической иондеромоторной и электродвижущей силами существует тесная связь. Ее можно наблюдать из выражения механической работы, совершаемой силой F, при перемещении контура вдоль координаты с/

С учетом (1.6) и (1.7) последнее уравнение с помощью очевидных операций приводится к виду.

где выражение в скобках представляет ту часть электродвижущей силы, определяемой законом электромагнитной индукции, которая обусловлена перемещением контура. Эго обстоятельство можно наблюдать, если записать выражение для ЭДС в следующем виде и учесть, что токи в нашем случае поддерживаются постоянными:

Таким образом, задача поиска силы оказывается частным случаем поиска ЭДС, что позволит в дальнейшем найти ее на основе уравнения напряжений.

В аналитической механике вместо величины W_m зачастую вводят фушецдю U, она равна.

и называется потенциальной функцией или силовой.

В этом случае сила, действующая вдоль координаты q_h будет.

и так по каждой координате. Совершаемая ими работа будет представлена как убыль функции U:

Ее введение ддет возможность представить работу потеш шальных сил следующим образом. Пусть в начальном положении (ды простоты анализа) контур тока располагается вне магнитною поля. Дтя его перемещения в рассматриваемую область поля необходимо затратить определенную работу, энергию, связанную с преодолением поадеромоторных сил. Если устранить внешние силы, контур тока под действием сил поля начнет перемешаться в область с меньшим значением энергии, т. е. совершаемая механическая работа будет равна убыли энергии контура; об этом говорит равенство (1.11).

Совершаемая механическая работа должна покрываться за счет энергии, потребляемой контуром тока от источника электрической энергии. Соотношение между этими видами энергии рассмотрим для простейшего случая, когда движение контура определяется единственной координатой г/, с которой связано изменение магнитного потока в пространстве, который создается постоянным током.

Механическая работа согласно (1.7) будет равна.

При пренебрежении джоулевыми потерями потребляемую электрическую энергию W_e найдем из следующих уравнений, записанных на основании обобщенного закона Ома и закона электромагнитной индукции:

Здесь dt — время, соответствующее перемещению dq.

Полученные результаты показывают, что механическая и электрическая энергии оказываются равными:

аш.

Таким образом, мы наблюдаем, что полная энергия контура, совершаемая механической и электрической силами магнитного поля, при постоянстве тока равна нулю:

Этот же результат может быть найден и другим путем. Пондеромоторная сата, приложенная к единичной длине контура тока, имеющего скорость v, совершает за время dt работу

(Здесь и далее под током I понамается вектор тока, совпадающий с элементом длины с/1.) Другой вид работы связан с движением зарядов (током) вдоль контура, которое происходит под действием сил Лоренца.

где скорость заряда v' складывается из скорости элемента контура в пространстве v и скорости движения заряда вдоль контура v" .

Так как электрическое поле внутри проводника отсутствует (Е = 0), что является следствием принятого допущения об отсутствии джоулсвых потерь, то совершаемая работа будет равна.

Здесь Е' - напряженность электродвижущей силы, индуцированной в проводнике при его движении.

под действием которой и происходит движение зарядов. Так как q_e — количество зарядов на единице длины, то, очевидно, произведение q, представляет ток контура.

и с учетом последних уравнений получим.

Следовательно, полная работа сил магнитного поля — механической и электрической — равна нулю:

т. е. получился такой же результат, как и выше: работа пондеромоторных сил магнитного поля равна и противоположна по знаку работе электродвижущих сил. Эю ожидаемый результат, который отвечает закону сохранения энергии, когда преобразование одного вида энергии в другой происходит без потерь энергии — в нашем случае потерь электрических и потерь на трение.

Рис. 1.3. Прямоугольный конту р тока в однородном магнитном поте.

Пример 1.1. Прямоугольный контур тока в однородном магнитном поле В имеет возможность вращаться вокруг оси у (рис. 1.3). Найти момент, действующий на рамку с током I.

Решение. Энергия контура согласно (1.6).

Магнитный поток Ф через контур есть функция обобщенной координаты у (рис. 1.3), измеряемой между нормалью к плоскости рамки и направлением магнитного потока.

Обобщенная сила, действующая на контур тока, очевидно, ирсдстав. тяет момент.

который стремится повернуть контур в положение, когда с осью поля совпадает ось рамки у = 0. Об этом говорит знак «-». Картина, возникающая при у = л, будет соответствовать положению неустойчивого равновесия.

Аналогичное выражение для момента найдется и через значение электрической энергии, выделяемой в контуре. Ее значение при пренебрежении джоулевыми потерями может быть выражено, как было показано выше, через значение электродвижущей силы, индуктируемой в контуре. Так как токи, протекающие в рамке, и внешний магнитный поток по условиям задачи являются постоянными, то в результате следующих преобразований получим

Откуда видно, что момент может быть найден через значение электродвижущей силы. Такое положение объясняется следующим образом. При движении проводника в магнитном поле в нем под действием силы Лоренца создается электрический ток, который, в свою очередь, взаимодействуя с магнитным полем, создаст пондсромоторную силу, работа которой на перемещение контура равна работе, совершенной силами Лоренца на движение зарядов вдоль контура, о чем говорилось выше. Такое положение является следствием закона электромагнитной индукции, связывающего две стороны электромеханического преобразования энергии. Как будет показано ниже, такой подход остается справедливым и для случая переменных токов, если в приведенных выражениях для силы подставлять мгновенные значения токов.

• [1] Поццеромогорными силами называются механические силы, действующие на контур тока в магнитном поле или на заряд в электрическом поле.