Метод стрельбы. 
Математическое моделирование

Это численный метод, заключающийся в сведении краевой задачи к решению последовательности задач Коши для той же системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим его на примере простейшей задачи для системы двух уравнений первого порядка с краевыми условиями достаточно общего вида Выберем произвольно значение U (а) = г/, рассмотрим левое краевое условие как алгебраическое уравнение (р {г/, V(«)) = 0 и найдем из него F (a) = ?(/;). Возьмем значения U (a) = r/, V (a) = % в качестве начальных условий задачи Коши для системы (2.12а) и проинтегрируем эту задачу Коши любым численным методом. При этом получим решение (J (x, rj), V (x, T]), зависящее от /7 как от параметра.

Значение? выбрано так, что найденное решение удовлетворяет левому краевому условию (2.126). Однако правому краевому условию это решение, скорее всего, не удовлетворяет: при его подстановке левая часть краевого условия в точке Ь, рассматриваемая как функция параметра ц

не обратится в нуль.

Необходимо каким-либо способом менять параметр /7, пока не подберем такое значение, для которого </(/7) ~ 0 с требуемой точностью. Таким образом, решение краевой задачи (2.12) сводится к нахождению решения уравнения

Простейшим методом его решения является метод дихотомии (деления отрезка пополам).

Делают «пробные выстрелы» — расчеты с наудачу выбранными значениями t]_j до тех пор, пока среди величин (/(/7,) не окажется разных по знаку. Пара таких значений г!_пг/_{/ + ]} образует «вилку». Деля ее последовательно пополам до получения нужной точности, производим «пристрелку» параметра г/. Благодаря этому процессу весь метод получил название стрельбы.

Однако нахождение каждого нового значения функции ц/{г/) требует численного интегрирования системы (2.12а), т. е. достаточно трудоемко.

Поэтому корень уравнения (2.14) желательно находить более быстрым численным методом.

Попробуем сделать это методом Ньютона:

Однако вычисление производной у/'(г/₍) затруднительно, и лучше ее заменить разностным отношением.

Подставляя (2.16) в (2.15), получим итерационную формулу метода секущих:

В методе секущих первые два расчета делают с наудачу выбранными близкими значениями г/₀ и /7, а следующие значения параметра вычисляют по формуле (2.17) для /= 1, 2,… Итерации выполняются до удовлетворения заданной точности.

Заметим, что этот метод быстро сходится вблизи корня уравнения (2.14). Сходимость вдали от корня зависит от того, насколько удачно выбраны начальные приближения г/₀ и /7,.

В качестве примера решим методом стрельбы краевую задачу у" = е^х + sin у с граничными условиями у (0) = 1, у (1) = 2 на отрезке [0, 1 ].

Заменой переменных у =у₀, у = y_t сведем дифференциальное уравнение второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка с краевыми условиями у₀(0) = 1, у₀(1) = 2.

Задачу Коши для полученной системы с начальными условиями на левом конце jy₀(0) = 1, «(0) -г/ (т. е.у'(0) -г/) будем решать методом Рунге-Кутта 4-го порядка с шагом // = 0.1. Функция ^(/7) = (Л,/7), К (Л>,/7)) на правой границе тогда есть.

7o (1)|_{Vo (0)=1>Vi (0)=},_;-2. Здесь y₀(l)|_{Vo (0)=|},"₍₀₎₌,_; означает решение задачи Коши, полученное методом Рунге-Кутта в точке b = 1 для величины у₀(1) с начальными условиями у₀(0) ⁼ 1, jKi (0) = /7. Параметр г/ найдем, используя схему секущих (2.20), производя «выстрелы» (т. е. многократно решая задачу Коши) до удовлетворения условия на правом конце.

у7(п)^0, которое здесь принимает вид у_п(1)| …. … -2 <�е, где е ;

заранее заданная точность. Точность е выберем равной 10 ⁴.

Примем, например, в качестве первых двух значений параметра р следующие: rj₍₎ = 1.0, rj_x =0.8. Дважды решая задачу Коши с этими параметрами, получим следующие решения: у_п(1)| …. … =3.168 894 836 и >',(1)1 «» =2.97 483 325. Далее будем вычислять новые прибли;

^и (О)-О.б жения параметра р по формуле (2.17). Результаты представим в следующей таблице:

Так как |^(/7₄)|р₄, т. е. с условиями у₀(0) = 1, у, (0) = р₄ = -0.160 862 503:

Рассмотрим теперь линейную краевую задачу, решение которой методом стрельбы особенно просто:

Воспользуемся известным результатом из теории дифференциальных уравнений: общее решение линейной неоднородной системы равно сумме ее какого-нибудь частного решения и общего решения соответствующей однородной системы.

Найдем частное решение неоднородной системы (2.18а), положив в левом условии (2.186), например, U (a) = p₍₎ = 0. Обозначим это частное решение через U₀(x), V₀(x) и заметим, что V₀(a) = t_[/q_r Рассмотрим теперь соответствующую однородную систему с однородными начальными условиями.

Вычислим решение этой задачи Коши и обозначим его через U_x(x V_x(x). Рассмотрим функции U{x) = U₀(x) + C-U_x(x) и V (x) = V₀(x) + С? V_t(x). Очевидно, что в точке а эти функции удовлетворяют краевому условию:

Поэтому общее решение неоднородной задачи Коши, удовлетворяющее левому краевому условию (2.186), дается следующим однопараметрическим семейством

Значение параметра С выбираем так, чтобы удовлетворить правому краевому условию (2.186):

Искомое решение краевой задачи (2.18) тогда находится по формуле (2.19).

Итак, решение линейной краевой задачи требует только двух «выстрелов» — вспомогательные задачи Коши решаются дважды.