Выясним смысл этого метода на примере простой балки. Для упрощения рассуждений вначале будем определять перемещения, учитывая только деформации от изгиба. Из курса сопротивления материалов известны соотношения
откуда.
Вместе с тем для прогиба и угла поворота имеем.
поэтому.
Введем обозначения Мф = v и тогда получаем запись.
Из сравнения выражений (5.34) и (5.35) очевидно их полное сходство, поэтому прогибы в заданной балке можно определять как изгибающие моменты, а углы поворота как поперечные силы в фиктивной балке от фиктивной нагрузки.
= M/(EJ). При этом необходимо так прикрепить фиктивную балку к земле, чтобы граничные условия для прогибов и углов поворота на концах заданной балки совпали с Мф и Оф в фиктивной балке.
Для балки, шарнирно опертой на концах, фиктивная балка совпадает с заданной балкой, так как прогибы в шарнирах заданной балки равны нулю, а в фиктивной балке моменты Мф на концах также равны нулю. Такое же соответствие будет в величинах (р и (2ф, которые на концах балки не равны нулю.
Если балка заделана одним концом, например левым, на котором v = 0 и ср = 0, то в фиктивной балке заделка должна быть на правом конце. Левый конец должен быть свободен от связей, только тогда Мф = 0 и Оф = 0. Приведенные рассуждения справедливы также для криволинейных и ломаных стержней.
В табл. 5.3 приведены схемы заданных балок и соответствующих им фиктивных балок.
Если эпюра моментов в заданной системе имеет сложное очертание, то ее можно заменить системой сосредоточенных фиктивных грузов. Эпюра Мф (а следовательно, эпюра перемещений) будет аппроксимирована ломаной линией, однако это не повлияет на точность вычисления перемещений узловых точек.
Описанный принцип можно распространить на любую систему — ферму, арку и т. п.; для этого необходимо вывести формулу для определения фиктивных сил.
