Маятник фуко. 
Теоретическая механика

Рассмотрим движение материальной точки по поверхности сферы в неинерциальной системе координат Oxyz, связанной с равномерно вращающейся Землей. Практически это движение можно реализовать, если привязать тяжелый металлический шар к достаточно длинной тонкой нити, второй конец которой закреплен. Подобный опыт был впервые поставлен французским физиком Ж. Фуко в 1851 г., в ходе которого присутствующие могли наблюдать вращение плоскости колебаний маятника, вызванное вращением Земли.

Пусть точка подвеса маятника есть начало координат (точка О), ось Oz направлена по местной вертикали, ось Ох — на восток, а ось Оу — на север. Если длина нити / и сила ее натяжения Т (реакция связи), то уравнение движения материальной точки в неинеоциальной системе кооодинат поймет вид.

Здесь g = -ge_z — ускорение силы тяжести (сумма гравитационного притяжения и переносной силы инерции), е₂ орт оси Oz, П = (0, Ocos.

у_% z) — радиус-вектор материальной точки. Кроме того, имеется связь г= /. Уравнение (16.1) имеет решение г = -/е₇, Тmg. соответствующее положению равновесия, когда маятник висит по вертикали.

При движении точки по гладкой сфере в однородном поле силы тяжести имеет место закон сохранения энергии.

поскольку сила инерции Кориолиса и реакция связи не совершают работу на действительных перемещениях. В окрестности положения равновесия х = у= 0, z = -/ координата z = -^/² — х² — у² > и соотношение (16.2) представляется в виде.

Здесь постоянная энергии h принята равной -mgl + е. Из равенства (16.3) следует, что величины х, у, х, у будут малы во все время движения, если положительная постоянная е, определяемая начальными условиями движения, мала. Считая колебания маятника малыми в определенном выше смысле, оставим в уравнении (16.1) только члены, линейные по х, у, х, у.

Проектируя уравнение (16.1) на оси системы координат Oxyz, получим.

Из последнего уравнения системы (16.4) следует, что Та mg с точностью до членов порядка х, у, х, у, если учесть уравнение связи и первые два уравнения системы (16.4). В рассматриваемом приближении представим первые два уравнения системы (16.4) в виде.

В уравнениях (16.5) оставлены члены, линейные по х, у, х, у. Введем комплексную переменную w = х + iy и перепишем систему (16.5) так:

Характеристическое уравнение.

имеет корни А., ₂ = sin<�р ± ко, где со² = gl~^l + ?i² sin² <�р. Общее решение уравнения (16.6).

где С), С*2 — произвольные комплексные постоянные, можно трактовать как движение точки в плоскости Оху по эллипсу, который вращается против часовой стрелки с угловой скоростьюfisincp.

Рассмотрим два случая начальных условий.

а) Пусть и>(0) = 0, ii⁰) = ш₀ . Тогда С, = 0, С₂ = to^и решение

Рис. 27.

б) Пусть u>(0) = iv₀, w (0) = 0. Тогда.

Траектории точки в этих случаях изображены на рис. 27.

Колебания маятника Фуко происходят почти в плоскости, которая медленно поворачивается с угловой скоростью С2 sirup. Эффект вращения плоскости колебаний максимален на полюсах и отсутствует на экваторе Земли.