Понятие расхождения тензора

Рассмотрим тензор V = (р_х, р_у. p_z), определяемый тремя векторами. Для любого направления в пространстве, определяемого вектором п, можно построить из элементов тензора новый вектор:

Рп ⁼ Рх cos (x, п) + Ру cos (у, п) + p_z C0s (2, n).

Заметим, что в общем случае он не коллинеарен вектору гг, а имеет свое направление в пространстве.

Если задано тензорное поле и компоненты тензора II являются функциями координат, то для некоторого замкнутого объема V с поверхностью S можно вычислить интеграл.

который имеет векторную форму. Выпишем проекцию этого выражения на ось Ох:

К правой части этого соотношения можно применить формулу Остроградского Гаусса, устанавливающую связь поверхностного и объемного интегралов: § а? nds = J div a dV. Применив се, получим s v

для рассматриваемой проекции.

Повторяя аналогичные преобразования для других проекций векторого интеграла и собирая эти проекции снова в векторную форму, получим.

Устремив теперь в (1.27) объем к нулю, стягивая его в точку, получим конечное значение предела:

По аналогии с дивергенцией вектора:

определяют дивергенцию тензора:

Отметим и различие между ними: дивергенция вектора является скаляром, а дивергенция тензора вектором.

Дивергенцию тензора называют также расхождением тензорного поля. Иногда, для отличия, дивергенцию тензора обозначают как Div V.

В индексной записи компоненты тензорного расхождения запишутся в виде.

или, в сокращенной записи, используя соглашение о суммировании,.

Дивергенция тензора позволяет компактно записывать соотношения, выражающие законы механики сплошной среды. Для существования расхождения необходимо, чтобы компоненты тензора были дифференцируемыми функциями координат, т. е. тензорное иоле должно быть дифференцируемым.