Переход от исходной инструментальной поверхности к режущему клину

Расчет параметров затылования

Если проектируемый инструмент является абразивным, то расчет ИИП является завершающей стадией проектирования режущего инструмента. При проектировании лезвийного инструмента необходимо формировать стружечные канавки и зубья инструмента.

Для получения положительных задних углов у многих режущих инструментов необходимо особым образом выполнить обработку задней поверхности — затылование, которое обеспечивает при переточках по передней поверхности постоянство профиля зуба и величины заднего угла в радиальном сечении.

Выбор геометрических параметров должен отвечать некоторым критериям, главными из которых являются:

• • стойкость инструмента, или время работы инструмента до образования на его задней или передней поверхности допустимой величины площадки износа;
• • размерная стойкость инструмента, или допустимое изменение его настроечного размера, что особенно важно в условиях работы автоматизированного оборудования;
• • поддержание заданной шероховатости обработанной поверхности;
• • уменьшение амплитуды автоколебаний, порождаемых процессом резания.

Эти критерии во многих случаях противоречивы. Поэтому задача выбора оптимальных геометрических параметров есть многокритериальная задача оптимизации, решением которой всегда является определенный компромисс, достигаемый с учетом весомости каждого отдельного критерия для конкретных случаев обработки.

Уравнение логарифмической спирали (рис. 20.7, а) в полярных координатах имеет следующий вид:

где р — радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку на кривой; а, т — постоянные коэффициенты; е — основание натурального логарифма; 0 — текущий полярный угол для данной точки кривой, рад.

При перемещении радиуса-вектора по часовой стрелке от полярной оси угол 0 положителен, против часовой — отрицателен. При значении.

Из дифференциальной геометрии известно, что угол р между радиусомвектором и касательной для одной и той же точки плоской кривой определяют по формуле где р' — производная уравнения кривой по параметру 0.

Тогда для точки х логарифмической спирали.

Рис. 20.7. Логарифмическая спираль:

а — логарифмическая спираль; б — конхоида логарифмической спирали; в — задний угол на конхоиде логарифмической спирали полярного угла 0 = 0 значение р = а. Для точки х на кривой уравнение спирали.

или Таким образом, логарифмическая спираль, обеспечивающая постоянство заднего угла, является приемлемой кривой для затылования.

Затылование. Затыловапиый зуб можно рассматривать состоящим из целого ряда кривых, уже не являющихся логарифмическими спиралями. Допустим, что через верхнюю часть зуба, т. е. через точки Л и В (рис. 20.7, б), проходит расчетная логарифмическая спираль. Она стремится к центру фрезы, являющейся асимптотической точкой для спирали. Если через другую точку профиля С, расположенную на величину h ниже точки А, провести логарифмическую спираль, то она тоже будет стремиться к центру фрезы. Тогда расстояния h_v h_v …, h_i между спиралями будут все время уменьшаться: /?[ > h₂>…> h_r Однако на практике это не имеет места, так как при затыловании высота профиля зуба h остается постоянной, что достигается постоянством формы затыловочного резца.

Таким образом, реально получается, что точная логарифмическая спираль проходит через одну или несколько точек профиля, а через другие точки профиля, лежащие ниже или выше расчетной, проходят другие кривые, называемые конхоидами (конхоиду можно построить, но точкам, откладывая величину h от кривой АВ (рис. 20.7, в).

Из рис. 20.7, в следует, что.

Уравнение спирали для точки В

Уравнение конхоиды для точки D

Угол р_гк между касательной и радиусом-вектором точки D

Тогда задний угол для точки конхоиды можно определить по формуле.

где т = tga_v.

Из формулы (20.37) следует, что задние углы для точек конхоиды не являются постоянными величинами: чем ближе точка конхоиды лежит к центру фрезы, т. е. чем разность (р — h) меньше, тем задний угол больше.

Затылование. При конструировании фрезы необходимо знать величину затылования /С, отнесенную к началу следующего зуба (рис. 20.8, а).

Для определения величины К необходимо разделить центральный угол 2с, соответствующий угловому шагу, пополам.

Рис. 20.8. К расчету затылованного зуба:

а — величина затылования; 6 — спираль Архимеда; в — задний угол на конхоиде спирали Архимеда Тогда.

где 2 — число зубьев, или Если принять 00 за ось отсчета углов 0, то уравнения логарифмической спирали для начальной А и конечной В точек имеют следующий вид:

Выражение в скобках есть двойной гиперболический синус угла tgae, т. е. а величина затылования Величина затылования так как 0_Л = Q_B = в, или.

Так как минимальное число зубьев у фрез z = 6, а максимальное значение заднего угла a = 15°, то.

а.

Поскольку значение tgae невелико, то можно принять, что Тогда, Но из уравнения спирали (20.34).

или где R — радиус фрезы. Отсюда.

Для углов а, применяемых на практике, разница между величиной К, вычисленной по точной (20.44) и приближенной (20.45) формулам, не превышает 8—10%.

Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах (рис. 20.8, б) имеет вид где р — радиус-вектор точки на кривой; Ь — постоянный коэффициент, равный полярной поднормали; ОА А. OX; АХ A. XN; b = const; 0 — текущий полярный угол в радианах для точки на кривой.

Угол р_г между касательной и радиусом-вектором для точки спирали Архимеда определяют по аналогии с (20.36):

где р' — производная уравнения кривой по параметру 0. Поскольку.

тогда Так как b = const, а радиус-вектор есть переменная величина, то задний угол при переточках фрезы не является постоянным, а изменяется пропорционально полярному углу 0.

Из уравнения спирали Архимеда (20.46) следует, что приращение радиуса-вектора пропорционально приращению полярного угла. Поэтому вся поверхность зуба фрезы состоит из отрезков одной и той же спирали Архимеда, являющихся ее конхоидами (рис. 20.8, в).

Задний угол а_гк определяется аналогично вычислению заднего угла адля логарифмической спирали (20.37).

На глубине профиля h имеется точка X. Уравнение спирали Архимеда для точки X имеет вид Тогда.

или Формула (20.47) показывает, что задние углы для разных точек профиля (для конхоиды спирали) есть переменные величины, увеличивающиеся с увеличением h. Из сравнения формул (20.47а) и (20.476) для tga_r и tga_VK следует, что a_rK> a_v, так как р > (р — /г).

Из формулы (20.47а) для tga_r, с учетом р = R, следует.

Подставив в формулу (20.476) вместо b его значение i? tga_r, получим.

Величину затылования определяют по аналогии с выводом формулы для затылования по логарифмической спирали (рис. 20.9, а).

Рис. 20.9. К расчету затылования по архимедовой спирали:

а — величина затылования; б — прямая как кривая затылования; в — задний угол при затыловании, но прямой Для точки 1 уравнение спирали Архимеда Для точки 2 Величина затылования.

Известно, что откуда Тогда с учетом г = n/z получаем.

Фрезы, затылованные, но спирали Архимеда, наряду с очевидными преимуществами, имеют серьезный недостаток: они не позволяют сильно увеличивать главный задний угол а, из-за чего боковые задние углы оказываются незначительными. По этой причине увеличивается износ боковых кромок, снижается стойкость фрезы, возрастает шероховатость обрабатываемой поверхности, снижается производительность из-за необходимости работы на пониженных режимах.

Этих недостатков лишены фрезы, затылованные по прямой линии. Процесс затылования по прямой линии осуществляется при равномерном вращении фрезы и некотором неравномерном прямолинейном перемещении затыловочного резца. При этом, но прямой будет оформлен зуб на наружном диаметре фрезы, а другие участки профиля с г < R обтачиваются по некоторым вогнутым кривым.

Так как высота профиля зуба во всех радиальных сечениях должна быть постоянной, то боковой профиль зуба образуется кривыми, являющимися конхоидами прямой, описанными из полюса О (рис. 20.9, б).

Уравнение прямой линии АС в полярных координатах определяется из треугольника О ВС:

где р — радиус-вектор точки С;Ь — расстояние от полюса до прямой АС; 0 — полярный угол.

Если от прямой АВ вверх и вниз отложить высоту зуба h (на каждом луче из полюса О), то получим соответственно выпуклую и вогнутую ветви конхоиды.

Уравнение конхоиды прямой имеет вид Пусть зуб фрезы располагается в системе координат так, чтобы главная задняя поверхность АВ была перпендикулярна оси ОХ (рис. 20.9, в). В точке А задний угол а_л имеет максимальное значение, а при переточках (например, плоскость OD) уменьшается (а_/; < а_л) и в точке В теоретически равен нулю. Практически зуб стачивается на угол 0 < со, поэтому в точке В угол, а ^ 0 и имеет некоторое минимальное значение; эту величину можно задать и, но ней найти центральный угол зуба со.

Пусть точка X имеет координаты 0, р и находится на расстоянии h от прямой профиля АВ. Тогда, как и ранее,.

После определения производной выражения (20.51) имеем.

Из зависимости (20.54) следует, что с увеличением высоты профиля h задние углы на конхоиде увеличиваются, поэтому всегда надо проверять задний угол по заданному профилю. С увеличением 0 по мере переточки а_гк уменьшается (а_гк = а_шах для точки С). Если задний угол у самой нижней точки конхоиды С получится слишком большим, надо изменить, а на вершине зуба или, если это возможно, уменьшить высоту профиля h. В силу этого обстоятельства фрезы, затылованные по прямой, имеют малую высоту зуба и соответственно большее число зубьев.

Двойное затылование. Чтобы избежать большого числа зубьев у фрезы и обеспечить минимальную величину заднего угла по всей вершине зуба, применяют двойное затылование (мелкомодульные червячные фрезы, резьбофрезы). В этом случае максимальный задний угол берется для начальной точки А и точки В, находящейся на середине зуба, 0 = со/2 (рис. 20.10, а).

При подстановке в выражение.

вместо р его значения из формулы (20.51) получим.

Рис. 20.10. Двойное затылование:

а — зуб фасонной фрезы с двойным затылком; б — одинарное затылование;

в — двойное затылование После элементарных алгебраических преобразований получим следующее выражение:

Если задаться углом a_VK, то можно определить допустимую высоту профиля h. Обычно h = (0,2-^0,3)Д.

Величину одинарного затылования по прямой линии (рис. 20.10, 6) определим по выражению.

Из косоугольного треугольника АОС по теореме синусов откуда откуда следует.

Для двойного затылования вывод формулы аналогичен (рис. 20.10, в): Из треугольника ОВС следует, что.

Из треугольника ЛОВ имеем соотношение откуда следует, что.

20,.

Подставив выражение (20.60) в формулу (20.59), получим.

Из формул (20.57) и (20.61) получим.

Анализ рассмотренных выше кривых затылования показывает, что задние углы не остаются постоянными для всех точек профиля, а меняются в зависимости от удаленности от центра фрезы; кроме того, эти углы изменяются и при переточках фрезы. Логарифмическая спираль, хотя и обеспечивает постоянство заднего угла по верхней части зуба, на других участках профиля дает переменный задний угол и не имеет преимущества по сравнению со спиралью Архимеда.

Непостоянство заднего угла в верхней части зуба, затылованного, но спирали Архимеда, незначительно и на работу фрезы практически никакого влияния не оказывает. Кроме того, задние углы в разных точках профиля (на конхоиде) у архимедовой спирали изменяются более равномерно, чем у логарифмической спирали.

Однако при выборе кривой затылования решающую роль играют технологические факторы. В настоящее время как в России, так и за рубежом применяют в качестве кривой затылования спираль Архимеда по следующим причинам.

1. Очень просто изготовить кулачок для затылования, так как у спирали Архимеда приращение радиуса-вектора пропорционально приращению полярного угла (р = 60); кулачок легко изготовить на станке, у которого существует согласование между вращательным и поступательным движениями.

Кулачок же с логарифмической спиралью изготавливают по разметке с последующей обработкой кривой по точкам.

2. Кулачок является универсальным, так как его можно использовать для фрез различных диаметров. Для логарифмической спирали и прямой линии для каждого диаметра фрезы требуется свой кулачок. Кулачки характеризуются величиной затылования К, которая на практике выбирается в пределах К = 0,5^-12 мм в зависимости от размеров фрезы.

В зависимости от условий резания устанавливают значение заднего угла а, затем по формуле определяют величину затылования и по ней подбирают кулачок. Иногда расчетное значение К округляют до соответствующей величины К кулачка. Фреза насаживается на оправку, вращающуюся в центрах. Затыловочный резец соответствующей формы и геометрии перемещается под действием кулачка, расположенного в суппорте затыловочного станка, перпендикулярно оси фрезы.

При повороте фрезы на один угловой шаг 0 = 2n/z кулачок делает полный оборот: 0_К = 2л.

В начальный момент затылования (рис. 20.11, а) межцентровое расстояние равно где К — величина затылования зуба фрезы.

Подставив выражение (20.66) в формулу (20.65), получим.

Зависимость (20.67) есть уравнение спирали Архимеда, но для кулачка.

До сих пор рассматривались задние углы фасонной фрезы в плоскости, перпендикулярной оси фрезы. При ее проектировании необходимо иметь формулы для задних углов в других сечениях, поэтому необходимо получить связь между ними. На рис. 20.11, в 0—0 — сечение, перпендикулярное оси фрезы; М—М — касательная плоскость в точке С; N—N — нормальное сечение; а₀ — угол в плоскости ОО, а_дг — задний угол в плоскости NN; <�р — угол между касательной к профилю фрезы и линией (плоскостью), перпендикулярной к оси фрезы.

Из треугольников А_{В_{С_{ и А₂В₂С₂ следует, что.

Рис. 20.11. Схема затылования (а, б) и задний угол в нормальном сечении затылованной фрезы (в) Когда фреза повернулась на 0 радиан (рис. 20.11, б), радиус-вектор точки пересечения затылка с линией центров стал равен р_ь. Кулачок за это же время повернулся на угол 0_К, радиус-вектор точки на спирали Архимеда кулачка стал равен р_к

Для положения, приведенного на рис. 20.11, б,.

Приравняв правые части выражений (20.63) и (20.64) и выполнив арифметические преобразования, можно получить.

В формуле (20.65) величина R — p_h есть падение затылка зуба фрезы, полученное при повороте кулачка на угол 0_К. Поэтому можно записать соотношение.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Для любой точки профиля фрезы при затыловании по спирали Архимеда Если R — h = г — радиус любой точки С на профиле фрезы, то.

Из формулы (20.69) следует, что а_л, с уменьшением угла (р уменьшается и при ср = 0 угол a_v= 0. Для нормальной работы фрезы необходимо принять a_v= 24−3°, а затем аналитически или графически определить угол ф для самой неблагоприятной точки боковой кромки.