Метод последовательных нагружений
Рь = 30 МПа; 2 — рь = 50 МПа; пунктирные линии — линейноупругий материал; сплошные линии — нелинейно-упругий материал Из приведенных графиков следует, что учет нелинейности может существенно сказываться на напряженном состоянии толстостенной трубы, при этом с ростом нагрузки влияние нелинейности возрастает. В некоторых случаях происходит не только количественное, но и качественное изменение эпюры… Читать ещё >
Метод последовательных нагружений (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В данном методе все действующие на тело нагрузки P.t разбиваются на N частей ДР, (равных или неравных). Для нулевого шага напряженное состояние определяется из решения задачи для линейно-упругого материала при нагружении тела нагрузками Д/-*0), где под Р подразумевается произвольная нагрузка[1]. На первом, втором и последующих этапах решение находится при использовании закона Гука в форме (1.12), в котором в качестве модуля упругости рассматривается касательный модуль Ек (см. рис. 7.1). Для гг-го шага касательный модуль вычисляется по формуле.
a в, вычисляется по формуле (1.11) после суммирования деформаций на всех предыдущих этапах нагружения. В частности, в рассматриваемой в данном параграфе задаче для s, справедливо соотношение.
где.
Коэффициент поперечной деформации v, входящий в соотношения (1.12), вычисляется по второй из формул (1.15):
Величина Ех определяется по формуле.
в которой v() и Е0— соответственно коэффициент Пуассона и модуль Юнга материала; Ес = /(в;)/е, — секущий модуль, а ?? вычисляется по формуле (7.6).
Компоненты напряжений, соответствующие полной нагрузке, находятся суммированием.
где каждый член суммы определяется из решения задачи с нагрузкой А1*п) и константами ?*я-1) и v(w1).
Таким образом, в обоих приближенных методах задача сводится к решению уравнения (2.18) с граничными условиями (2.26).
Простейшее сопоставление двух методов и сравнение результатов с точным решением проведем, ограничившись в каждом из методов двумя приближениями. Форма решения на нулевом (линейном) шаге итерационного процесса и по методу последовательных приближений (МПП), и по методу последовательных нагружений (МПН) будет одна и та же —.
Из закона Гука с учетом равенств v = 0,5 и е2 = 0 находим.
После подстановки полученных выражений для деформаций в формулу (7.6) найдем интенсивность деформаций:
после чего для секущего и касательного модулей получаются выражения.
где.
Зная ?с(0) и ?к(0), можно найти решение на следующем шаге. Уравнение (2.18) в этом случае представляется в виде.
где вместо Е нужно подставить соответственно ?'с(0) и ?'к(0). Решая это уравнение и удовлетворяя граничным условиям.
найдем:
МПП:
МПН:
Здесь В.= 4-^a-2e, 6 = 1,2. а2 а Равенства (7.9) дают окончательные значения напряжений по методу последовательных приближений. В то же время для определения напряжений по методу последовательных нагружений требуется сложить (7.10) с (7.8). В итоге получим МПН:
Коэффициенты концентрации напряжений, вычисленные по аналогии с точным решением, в рассматриваемых приближенных методах равны kc = 1,613 (МПП) и k0 = 1,792 (МИН). Сравнивая полученные результаты с точным решением (ko = 1,480), можно заметить, что сходимость метода последовательных приближений лучше, чем сходимость метода последовательных нагружений. На основании этого достаточно простого сравнения приведем результаты расчета, выполненные методом последовательных приближений.
На /?-м этапе итерационного процесса решается уравнение (2.18) с коэффициентами.
где ?, и Vj определяются равенствами (1.15), а входящий в эти соотношения секущий модуль Ес — формулой.
в которой вычисляется согласно формуле (7.6). При этом для /7=1 решается линейная задача, в которой напряжения не зависят от Е и v.
Уравнение (2.18) с коэффициентами (7.11) на каждом шаге итерационного процесса решалось методом прогонки [10]. Сопоставление численных значений для несжимаемого материала при b —? °о с точным решением (7.4) позволило установить необходимую густоту сетки на отрезке (а, b) и определить количество шагов итерационного процесса. Как и следовало ожидать, сходимость метода в значительной степени зависит от нагрузки. При малых давлениях, когда поведение материала близко к линейному, для получения необходимой точности, которая оценивалась по уело- ВИЮК" 12 — CTo’maJ < O. OOllcj^J, достаточно 2−3 итераций. Если же нагрузка приближается к значениям, при которых е,= ?i, max на диаграмме «0, -8,» (см. рис. 7.1), то для получения той же точности необходимо сделать 12—15 приближений.
На рис. 7.2 приведены эпюры напряжений а0, вычисленные для линейнои нелинейно-упругого материалов с константами Е= 3−101 МПа; А = 2 • 10° МПа; а = 1,5; v0 = 0,2 при действии на трубу с размерами а = 0,3 м и Ь = 0,5 м внешнего давления рь.
Рис. 7.2. Эпюры напряжений ст0 в толстостенной трубе:
1 — рь = 30 МПа; 2 — рь = 50 МПа; пунктирные линии — линейноупругий материал; сплошные линии — нелинейно-упругий материал Из приведенных графиков следует, что учет нелинейности может существенно сказываться на напряженном состоянии толстостенной трубы, при этом с ростом нагрузки влияние нелинейности возрастает. В некоторых случаях происходит не только количественное, но и качественное изменение эпюры а0. Так, при давлении/?, = 50 МПа максимум эпюры а0 смещается внутрь стенки трубы. В то же время можно заметить, что напряжения вблизи внешней поверхности по сравнению с линейной задачей возрастают. Этот факт легко объясняется рассматривавшимся ранее интегральным условием равновесия.
Следует подчеркнуть, что рассмотренная методика и расчет могут проводиться лишь до таких значений нагрузок, при которых интенсивность напряжений во всем объеме трубы не превосходит максимального значения на диаграмме «а, — е,». Это значение определяется константами Е, А, а и равно.
Учитывая равенство (7.3), можно написать условие, при котором расчет производится на восходящей ветви диаграммы «а, — 8,»:
Как показывает анализ, разность | а, — а01 достигает максимума всегда на внутренней стенке трубы (даже в случае смещения максимума напряжений а0) и с учетом ра = О в данной задаче будет равна | а0 = (г = а) |. Нагрузкаph = 50 М Па как раз соответствует условию (7.12).
Особый интерес представляет исследование влияния на напряженное состояние в трубе начального значения коэффициента Пуассона v0. В табл. 7.1 даны значения напряжений а0 а и ст0 шах в зависимости от v0 приръ = 50 МПа для приведенных выше параметров материала и размеров трубы. Можно заметить, что при изменении v0 в пределах от 0 до 0,5 напряжения меняются весьма незначительно, откуда можно сделать определенный вывод, что при решении задач для нелинейно-упругого материала гипотеза о несжимаемости материала является вполне приемлемой.
Таблица 7.1
Влияние начального значения коэффициента Пуассона на напряжения а0 (МПа) в т рубе.
vo. | ОД. | 0,2. | 0,3. | 0,4. | 0,5. | Линейно-упругий материал. | |
<*в.". | 111,3. | 113,2. | 114,3. | 115,0. | 115,4. | 115,4. | 156,3. |
<*е. max. | 128,4. | 128,2. | 128,0. | 127,6. | 127,5. | 127,4. | 156,3. |
- [1] Предполагается, что осуществляется простое нагружение, одним из упрощенных определений которого является условие пропорциональнос ти всех внешних нагрузок одному параметру.