Энергетические характеристики гравитационных и магнитных аномалий

Кафедра общей и прикладной геофизики

Курсовая работа на тему:

Энергетические характеристики гравитационных и магнитных аномалий.

Дубна, 2005

1. Введение

2. Теоретическая часть

3. Расчётная часть

4. Список литературы

В данной работе рассматриваются элементы теории случайных функций и их применение для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий. Аппарат теории случайных функций и основанный на нём статистический подход можно применять в различных ситуациях. Во-первых, когда мало известно о параметрах аномалий или геологических объектах, которыми они вызваны. Во-вторых, когда поставленную задачу гравиразведки и магниторазведки можно решить только с применением аппарата теории случайных функций и, наконец, в-третьих, при решении задач различными детерминированными методами.

Получаемые данные, корреляционные функции и связанные с ними энергетические спектры аномалий имеют следующие свойства: малая чувствительность к погрешностям наблюдений; взаимозаменяемость; чётность получаемых выражений.

В работе также приведены примеры применения теоретического материала к практике. Представлены расчёты для бесконечной горизонтальной материальной линии, бесконечной вертикальной материальной полосы и бесконечной горизонтальной полосы. Для исследуемых функций построены графики при различных исходных данных.

Теоретическая часть

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАВИТАЦИОННЫХ И МАГНИТНЫХ АНОМАЛИЙ

Энергия процесса f (t), соответствующая изменению времени от t = -t₁, до t = t₁ определяется интегралом

Среднее значение энергии за время 2t₁ (или средняя мощность) определяется выражением

Через эти интегралы прямо можно выразить основные статистические характеристики сигналов — автокорреляционную функцию и энергетический спектр. Поэтому эти характеристики называют еще и энергетическими характеристиками сигналов.

Аналогичные интегралы можно написать и для отрезка профиля при изменении расстояния x отT до +T, а именно:

Эти интегралы выражают площадь между кривой квадрата функции f²(x) и осью x при изменении x отT до +T и среднюю величину этой площади, т. е. сумму значений квадратов функции и средний квадрат функции.

По аналогии с величинами E и E_ср гравиразведке и магниторазведке значения F и F_ср также называют энергией функции f (x) (энергия и средняя величина энергии). При этом величину f²(x) называют мгновенной энергией, а значение интеграла полной энергией функции f (x) (если, конечно, он существует). Автокорреляционная функция В (ф) и энергетический спектр сигнала Q (щ) однозначно можно выразить через указанные интегралы, определяющие энергии. Поэтому функции B (ф) и Q (щ) также называют энергетическими характеристиками функции f (x), в нашем случае гравитационной или магнитной аномалии.

В следующих разделах рассматриваются энергетические характеристики и детерминированных, и случайных аномалий. Причем первые являются аномалиями f (x) определенной формы из класса (по В. Н. Страхову), для которых существует интеграл .

§ 1. Определение энергетических спектров и корреляционных функций аномалий

Аномалии известной формы (детерминированные сигналы)

Пусть f (x) — некоторая ограниченная вдоль профиля функция строго определенной формы, а S (щ) — ее трансформанта Фурье (предполагаем, что она существует) и пусть далее существует интеграл .

Автокорреляционной функцией такого сигнала f (x) (по определению В. Н. Страхова, если функция f (x) принадлежит классу, h > 0) называется функция

(1.1)

Определив преобразование Фурье такой функции B (ф), получим энергетический спектр (спектральная плотность) сигнала f (х):

(1.2)

Тогда

(1.3)

Между автокорреляционной функцией В (ф) аномалии f (х) и ее энергетическим спектром Q (щ) существует связь, определяемая этой парой преобразований Фурье. Если определим функцию Q (щ) через значения простого спектра S (щ) аномалии f (x), то получим выражение

(1.4)

(это в симметричной форме записи. В несимметричной форме записи коэффициент будет отсутствовать).

Перейдем к выражению взаимной корреляционной функции и взаимного энергетического спектра аномалий. Пусть f_p(х) и f_л(х) — два сигнала известной формы, а S_р(щ) и S_л(щ) их трансформанты Фурье или спектры (предполагаем, что они существуют) и, кроме того, пусть существует интеграл

Для таких функций взаимной корреляционной функций называется выражением вида

(1.5)

Преобразование Фурье функции В_рл(ф) называется взаимным энергетическим спектром (взаимной спектральной плотностью) сигналов f_р(х) и f_л(х):

(1.6)

В этом случае

(1.7)

Примем, что f_р(х) и f_л(х) непрерывны при -? < x: <? и В_рл(ф) определена при -? < ф < ?. Тогда взаимный энергетический спектр также можно выразить через спектры составляющих функций S_р(щ) и S_л(щ). Легко убедиться, что в этом случае вместо формулы (1.4) получим соотношение

(1.8)

(Здесь, так же, как и в формуле (1.4), функции S (щ) и S (-щ) являются взаимно сопряженными, т. е. S (-щ) = S*(щ)).

Нормированную автокорреляционную функцию можно определить из равенства

(1.9)

Аналогичные выражения можно написать и для трехмерных аномалий. Пусть существует спектр S (u, v) функции известной формы f (х, y). И пусть существует интеграл

Тогда автокорреляционная функция

(1.10)

Энергетический спектр

(1.11)

Кроме того,

(1.12)

Пусть спектры функций f_р(х, у), f_я(х, у) будут равны соответственно S_p(u, v) и S_л(u, v). Тогда при условии существования интеграла

для определения взаимных корреляционных функций и энергетического спектра получим равенства

(1.13)

(1.14)

. (1.15)

Пусть f (x, y), f_p(x, y), f_л(x, y) непрерывны в прямоугольнике -? < х < ?, -? < у < ?, В и В_рл определены в прямоугольнике -? < о < ?, -? < з < ?, тогда верны равенства

(1.16)

(1.17)

Нормированная автокорреляционная функция

(1.18)

Для осесимметричных аномалий, т. е. когда функция f (x, y) зависит только от переменной, из формул (1.11), (1.12) и (1.16) соответственно получим

(1.19)

(1.20)

(1.21)

§ 2. Некоторые свойства и особенности применения энергетических спектров и корреляционных функций

Рассмотрим некоторые свойства и особенности применения энергетических спектров и корреляционных функции аномалий, которые будут широко использованы в последующих разделах.

1. Теорема Парсеваля

Пусть функция f (х) имеет спектр S (щ). Интегрируя по щ в бесконечных пределах обе части равенства (1.4), найдем

На основании равенства (1.3) получим

С учетом формулы (1.1) окончательно найдем

где учтено, что функция |S (щ)| — четная. Эту формулу обычно называют теоремой Парсеваля или теоремой Релея.

Аналогично для трехмерных аномалий на основании равенств (1.16), (1.12) и (1.10) для теоремы Парсеваля получим

Для трехмерных аномалий, симметричных относительно вертикальной оси, переходя к полярным координатам, отсюда найдем

Эту формулу можно получить и из равенства (1.21) (умножая обе его части на с и интегрируя по с в пределах от 0 до ?) с учетом выражений (1.10) и (1.20).

Теорема Парсеваля, учитывающая величину полной энергии аномалий, имеет важное значение в гравиразведке и магниторазведке. Она использовалась в работах многих исследователей (К.В. Гладкий и др.). С ее применением В. Н. Страховым были получены ряд фундаментальных формул спектрального анализа гравитационных и магнитных аномалий.

2. Выражение энергетических спектров и корреляционных функций одних аномалий через другие

Пусть f_x(x, y), f_y(x, y), f_z(x, y) — производные по осям координат x, y и z от некоторой гравитационной или магнитной аномалии f (х, y) (от гравитационного или магнитного потенциала, от ускорения силы тяжести и т. д.). Тогда пользуясь теоремами о спектрах производной функции, после небольших преобразований получим:

(1.22)

Практически наиболее важными являются случаи f = U и f = V_z, где U — магнитный потенциал, V_z — ускорение свободного падения. Для этих случаев последнее равенство можно переписать в виде:

(1.23)

(1.24)

Из этих равенств можно определить (заменить) энергетический спектр одной из аномалий: X, Y, Z или V_xz, V_yz, V_zz через известные значения энергетических спектров других аномалий. Этот вывод можно перенести и на случай автокорреляционных функций:

(1.25)

. (1.26)

В двухмерном случае (при) из равенств (1.23)-(1.26) получим

(1.26а)

Из этих равенств видно, что в двухмерной задаче энергетические спектры и автокорреляционные функции аномалий H, Z или гравитационных V_xz, V_хх, V_zz полностью взаимозаменяемы. Некоторые из них показаны на рис. 6. Это же положение верно в двухмерном случае и для аномалий V_х, V_z, т. е. для горизонтальной и вертикальной производных от любой исходной одной и той же аномалии. Оно же верно и для аномалий H, Z в случае косого и вертикального намагничивания и для нормированных функций Q и B аномалий H, Z и ДT.

Это важное свойство автокорреляционных функций и энергетических спектров. Им не обладают исходные гравитационные и магнитные аномалии, за исключением функций V_xz, V_хх, V_zz в трехмерном случае и V_хх и V_zz — в двухмерном, для которых указанное свойство следует из уравнения Лапласа.

Легко показать, что энергетический спектр аномалии является всегда вещественной и четной функцией. Тогда и автокорреляционная функция аномалии будет вещественной и четной функцией. Рассмотрим взаимные энергетические спектры Q₁₂(щ) и Q₂₁(щ) двух функций f₁(x) и f₂(x). Для них верны соотношения

Рис. 1. Примеры разных аномалий, которым соответствуют одни и те же автокорреляционная функция B (ф) и энергетический спектр Q (щ)

(1.27)

(1.28)

(1.29)

Кроме того, легко показать, что произведение Q₁₂Q₂₁ и сумма Q₁₂ ⁺ Q₂₁ являются всегда четными функциями, а разность Q₂₁ — Q₁₂ — всегда мнимой. При этом, если одна аномалия четная, а вторая нечетная, то

(1.30)

Здесь, если первая функция — это, а вторая, где f — некоторая исходная аномалия (в двухмерном случае, например, для функций V_x, V_z; V_xz, V_zz для магнитных аномалий H и Z, если одна из них четная, а вторая — нечетная), то учитывая доказанное выше равенство Q_p = Q_q получим для суммы аномалий F = p + q:

(1.31)

для взаимного энергетического спектра:

(1.32)

Что же касается взаимных корреляционных функций, то для них получим

где В₁₂(ф) + В₂₁(ф) — четная функция; В₂₁(ф) — В₁₂(ф) — нечетная функция.

Кроме того, из равенств (1.30), (1.31) и (1.32) соответственно получим (если одна из аномалий четная, вторая — нечетная)

(1.33)

(1.34)

(1.35)

Полученные равенства можно использовать для замены выражений Q₁₂, Q₂₁ и B₁₂ через значения Q₁, Q₂ и B₂₁ при решении различных задач, в частности, при определении радиуса корреляции суммарного поля, состоящего из нескольких компонент — региональной, локальной составляющих и ошибок наблюдений; при определении возможности наличия корреляции между двумя сигналами и т. д. Из изложенного материала видно, что корреляционные функции и энергетические спектры аномалий обладают рядом других важных свойств, которые при решении многих задач гравиразведки и магниторазведки делают их применение предпочтительнее, чем применение самих аномалий. Прежде всего это то, что корреляционные функции и энергетические спектры аномалий являются некоторыми интегральными характеристиками, т. е. при определении их значений (хотя бы одного) используются все точки исходной аномалии — вся кривая, что приводит к значительному уменьшению случайных погрешностей инструментального и геологического характера. Влиянию ошибок наблюдений подвергается только центральная часть кривых корреляционных функций, что делает возможным исправление их значений в этой центральной части.

Для случая автокорреляции ближайшая к поверхности особая точка получаемых функций залегает в 2 раза глубже. Этот факт расширяет области применения различных трансформаций к значениям автокорреляционной функции.

Автокорреляционные функции и энергетические спектры аномалий для производных одного порядка взаимозаменяемы (в двухмерном случае равны), что позволяет по данным В или Q для аномалии одной производной определить значения рассматриваемых функций для аномалий другой производной или, если известны значения аномалий двух производных, например, Z и H повышать точность вычисления функции B и Q Взаимозаменяемость находит, например, широкое применение при совместной интерпретации данных гравитационного и магнитного полей.

Функции B и Q являются всегда четными, и этот факт облегчает возможность получения различных соотношений, упрощает кривые и делает их более пригодными для определения формы, размеров и глубины залегания аномальных тел.

В то же время следует отметить, что из-за четности автокорреляционных функций и энергетических спектров аномалий в них пропадают полезные эффекты, связанные с асимметричностью кривых аномалий и косым намагничиванием магнитных масс. Это вызвано тем, что указанные функции формируются только значениями амплитудного спектра, влияние же фазового спектра в них отсутствует. Как раз этим и объясняется то, что аномалии с равными амплитудными и разными фазовыми спектрами имеют одни и те же энергетические характеристики — функции B и Q. Поэтому полезное свойство

четности их кривых в некоторых случаях является их недостатком. Но применение энергетических характеристик аномалий основано на использовании их полезных свойств. Полезные же эффекты асимметричности косого намагничивания аномалий четко отражаются на значениях взаимных энергетических спектров и взаимных корреляционных функций, и при необходимости их можно определить из значений этих функций.

3. Интегрирование корреляционных функций знакопеременных аномалий

Другое свойство автокорреляционных функций для случая знакопеременных аномалий заключается в следующем. Пусть f (x) — гравитационная или магнитная аномалия, автокорреляционная функция которой B (ф) имеет нуль в одной точке ф₀ (вторая точка нуля находится в бесконечности). Для таких аномалий

(1.36)

Переходя под интегралом от автокорреляционной функции к энергетическому спектру и меняя пределы интегрирования, для первого интеграла правой части получаем

(1.37)

С другой стороны, для знакопеременных аномалий на основании теорем о спектре производных получим

где S₁(щ) — спектр аномалии f (x) (например, гравитационной аномалии V_xz или V_zz), а S (щ) — спектр исходной незнакопеременной аномалии (например, аномалии V_z), который обращается в нуль только при. При щ = 0 с учетом формула (1.2) из последнего равенства получим.

(1.38)

или

Тогда должно выполняться равенство

(1.39)

т.е. положительная часть площади под функцией B (ф) и осью ф должна равняться отрицательной. Поэтому из равенства (1.36) получим

(1.40)

Это равенство определяет важное свойство автокорреляционных функций знакопеременных аномалий и позволяет заменить бесконечные пределы интегрирования модуля автокорреляционных функций конечными — только от 0 до ф₀.

На основании формулы (3.37) запишем аномалии

(1.41)

Это равенство позволяет перейти от интегрирования автокорреляционных функций к интегрированию энергетических спектров.

Для трехмерных знакопеременных по осям x и y аномалий получим равенство, аналогичное (1.40) (соответственно для произвольных и осесимметричных аномалий):

(1.42)

(1.43)

где о₀ и з₀ — горизонтальные координаты точек перехода автокорреляционной функции через нуль. Тогда аналогично равенству (1.40) сможем написать:

(1.44)

(1.45)

Аналогично формуле (1.41) в трехмерном случае соответственно для произвольных f (x, y) осесимметричных f® знакопеременных аномалий с учетом равенств (1.42), (1.43) мож-но получить следующие выражения:

(1.46)

(1.47)

Полученные соотношения имеют важное практическое применение, в частности они будут использованы в дальнейшем при определении значений радиуса корреляции знакопеременных гравитационных и магнитных аномалий.

Расчётная часть

Возьмём нормированную автокорреляционную функцию для случаев вертикальной производной порядка n = 0. Рассмотрим ёе поведение для бесконечной материальной горизонтальной линии, бесконечной горизонтальной полосы и для бесконечной вертикальной материальной полосы.

1. Бесконечная горизонтальная материальная линия.

Рассматриваем для значений h = 0,5; 2; 3.

График изменения автокорреляционной функции при различных h

2. Бесконечная горизонтальная полоса шириной 2l.

где b = ф/2h, a = l/h, A = b + a, c = b — a;

Примем l = 3h, тогда получим график изменения автокорреляционной функции

3. Бесконечная вертикальная материальная полоса, высотой Дh = h₂ — h₁.

где b = ф/h₁, a + 1 = k, a + 2 = E.

Получим графики изменения функции для данных тел.

1. Серкеров С. А. Спектральный анализ гравитационных и магнитных аномалий. — М.: Недра, 2002.